Noções de Cálculo Diferencial

Introdução ao cálculo diferencial

O cálculo diferencial tem sua história iniciada por Isaac Newton para ser utilizado como ferramenta matemática na Física, Newton quando iniciou suas pesquisas do que viria a se tornar mais tarde a Mecânica Newtoniana deparou-se com uma problemática que envolvia valores cada vez menores, imagine por exemplo um móvel descrevendo uma trajetória curva, se considerarmos dois pontos desta trajetória à medida em que o ponto P1 se aproxima do ponto P2 a trajetória ficará mais "reta", veja a figura abaixo:Observe que quando o ponto b1 vai em direção ao ponto b2 o ponto a1 se aproxima de a2 e a curva se aproxima de uma linha reta, Newton então começou a imaginar o conceito de infinitésimais que guardam uma estreita relação com a noção de limite.

A razão incremental

Incremento em linguagem matemática significa variação, em uma função de 1 variável ( Estudo no qual inicialmente vamos nos concentrar) teremos a abscissa (x) e a função [f(x) ou y] cujo valor depende dela.
Por definição o incremento da variável x é dado por (x-xo) e o incremento da função f(x) é dado por f(x) - f(xo).
A razão incremental seria f(x)-f(xo)/x-xo.

Exemplo:
Na função F(x) = x² - 2x quando a variável independente passa do valor 2 para 4, pergunta-se:
a) Qual o incremento da variável independente?
b) Qual o incremento da variável dependente?
c) Qual o valor razão incremental?

Resolução:
a) Variável independente neste caso será o x, portanto seu incremento é dado por:
xo=2 e x=4
x-xo=4-2
x-xo=2 (Que nada mais é que o delta de x)

b) Variável dependente é aquela que "funciona" de acordo com a variável independente x, logo seria a própria função:
F(xo)=xo²-2xo
F(2)=2²-2.2
F(2)=4-4
F(2)=0

F(x)=x²-2x
F(4)=4²-2.4
F(4)=16-8
F(4)=8
Portanto o incremento da variável dependente será:
F(x)-F(xo)=F(4)-F(2)
F(x)-F(xo)=8-0
F(x)-F(xo)=8 ( Valor do delta de y)

c)A razão incremental por definição é dada por:
R=F(x)-F(xo)/x-xo
R=8/2
R=4

Limites e o conceito de derivada

Vamos utilizar agora a noção de limites e tentar ligar este conceito à derivada de uma função.
Como foi visto, a razão incremental é dada por:
R=F(x) - F(xo)/x-xo
Por definição a derivada de uma função é o limite da razão incremental quando x tende a assumir o valor xo:

dy/dx =
lim f(x)-f(xo)/x-xo
x->xo
Como exemplo, imaginemos a função f(x)= x²-2x, vamos mostrar como chegar à derivada usando o limite acima.

f(xo)=xo²-2xo
f(x) =x²-2x

y´=lim (x²-2x) - (xo²-2xo)/x-xo
x->xo
y´=lim x²-xo²-2x-2xo/x-xo
x->xo
y´=lim (x+xo).(x-xo)-2(x-xo)/x-xo
x->xo
y´=lim (x-xo).[x+xo-2]/x-xo
x->xo
y´=lim [x+xo-2]
x->xo
y´=x+x-2
y´=2x-2
Esta é a derivada da função x²-2x encontrada usando-se a definição.