3 de set de 2011

PROBABILIDADE

Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertencer à comissão, qual a probabilidade de César pertencer?
Resposta: 3/4

RESOLUÇÃO:

O número total de possibilidades na formação da comissão será dado por C5,3 pois temos 5 elementos (n=5) para escolher quais vão compor a comissão, porém antes quero falar sobre a fórmula que define as Probabilidades Condicionais, sua expressão matemática é:

P (AlB) = P ( A intersecção B ) / P ( B)

" Probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido"

Notem no enunciado a parte : " SE Denise não pertencer à comissão, qual a probabilidade de César pertencer?"

Entenderam? Queremos encontrar:
P (AlB) que é a probabilidade de César pertencer à comissão, dado que
P (B) Denise não pertence à comissão,
Porém, você deve estar se perguntando: "O que representa P ( A intersecção B)?", simples, é a probabilidade de César e Denise pertencerem ao mesmo tempo à comissão.

Vamos calcular primeiro P(B):
Como falei no início o número total de comissões será C5,3 pois são 5 pessoas para formar grupos de 3, então teremos C5,3 = 5!/3!(5-3)!, resolvendo este fatorial C5,3 = 10.
Para completar iremos agora formar grupos de 3 EXLUINDO um elemento que é a Denise, logo C4,3 = 4!/3!(4-3)! , o que nos dá C4,3 = 4, portanto a probabilidade P (B) de Denise não fazer parte da comissão será C4,3/C5,3 = 4/10.

Pronto,falta calcularmos P ( A intersecção B ) que já vimos que representa a probabilidade de Denise e César pertencerem à comissão, ora, para isto peguemos os 3 membros restantes e iremos formar grupos de 1, entenderam porque? Cada comissão possui 3 membros mas Denise e César têm que estar no grupo então reduzimos 2 elementos de n=5 e 2 elementos de p=3, logo:

P ( A intersecção B )=C3,1/C5,3 = 3/10

Organizando os dados obtidos:
P ( A intersecção B )=3/10
P ( B ) = 4/10

Portanto a Probabilidade Condiional pedida será:

P (AlB) = (3/10)/(4/10)
P (AlB) = 3/4

Espelhos Esféricos

Um espelho esférico côncavo tem raio de curvatura igual a 80 cm. Um objeto retilíneo de 2 cm de altura é colocado perpendicularmente ao eixo principal do espelho, a 120 cm dele.
Dê as características da imagem conjugada pelo objeto.





Acima podemos ver o objeto na frente do espelho vamos agora descobrir as características da imagem conjugada pelo objeto.

A primeira coisa a fazer é descobrir a distância da imagem em relação ao vértice do espelho, utilizaremos a Equação de Gaus ou Equação dos pontos conjugados:

1/f = 1/p + 1/p´

Onde:
f = Distância focal do espelho ( Vale a metade do raio de curvatura f=R/2).
p = Posição do objeto em relação ao vértice do espelho
p´= Posição da imagem em relação ao vértice do espelho

Foi nos repassado R = 80 cm então vamos dividir por 2 para obtermos f, já foi dito que f=R/2, então:

f=80 cm/2
f= 40 cm
Uma observação a ser feita aqui é de que se o espelho fosse convexo tanto R como f assumiriam valores negativos, ok?

A distância dada de 120 cm é a distância do objeto ao vértice do espelho, na fórmula é p.
Então ficamos assim:

1/f = 1/p + 1/p´
1/40 = 1/120 + 1/p´
1/40 - 1/120 = 1/p´
Tirando MMC teremos:

(3-1)/120 = 1/p
2/120 = 1/p´
2p´= 1.120
p´= 120/2
p´= 60 cm, esta é a distância da imagem ao vértice do espelho e como o sinal dela é positivo a imagem é chamada real.

Vamos agora definir se a imagem é invertida ou direita, ampliada ou reduzida, para isto precisaremos estabelecer a fórmula do aumento linear transversal ( A ), ela é expressa matematicamente por:

A = i/o = - p´/p ( Agora nos temos uma dupla igualdade mas não se preocupe nunca utilizamos nesta forma, só precisamos trabalhar com dois membros da igualdade.

A = - p´/p

Para definir o aumento linear transversal precisamos dos valores de p e p´ que já obtivemos então:

A = - 60 cm/120 cm
A = - 1/2 Note que A é adimensional ou seja não possui unidade de medida e representa se a imagem é ampliada ou reduzida, como 1/2 é um número menor que 1 a imagem é menor que o objeto logo, reduzida.
E quanto ao sinal de A, você observou que é negativo? Devido ao sinal ser negativo a imagem será invertida, ou seja, estará de "cabeça para baixo" em relação ao objeto.
Falta falarmos sobre o tamanho "i" da imagem sendo dado o tamanho "o" do objeto.
Vimos que A=-1/2, e que i/o também é igual a A, então faremos:
1/2 = i/o ( Observe que aqui iremos nos abstrair do sinal aritmético) porque não existe nada com tamanho negativo. Sabemos que o valor do tamanho do objeto "o" vale 2 cm portanto:
1/2 = i/2cm
2cm = 2i
2i = 2cm
i = 2cm/2
i = 1 cm ( Compare com o tamanho do objeto o=2 cm e vc verá que a imagem realmente é menor que o objeto)

Para finalizar é só dizer a imagem encontra-se a 60 cm do espelho é reduzida e invertida e sua altura é de 1 cm.


Movimento Harmônico Simples ( MHS)

Um corpo de 2 kg estica de 10 cm uma mola à qual está suspenso na vertical e em repouso. O corpo, então, é colocado numa superfície horizontal sem atrito, ligado à mola, conforme a figura abaixo. Nestas circunstâncias, o corpo é deslocado de 5 cm e abandonado, em repouso. ( g=10 m/s²).
Qual o período de oscilação da mola?



Resolução:

Dados:
m= 2kg
x = 10 cm ( Não podemos esquecer de converter para metros, unidade padrão do MKS)=0,1 m
g - 10 m/s²

Inicialmente a massa estava na vertical e se encontrava em equilíbrio estático então desconsiderando-se a massa da mola podemos dizer que a força da mola sobre a massa m equilibrava o seu peso, para que precisamos disto? Para calcular o valor da constante elástica k, vamos lá:

Peso = Felástica ( A Força elástica é dada pela Lei de Robert Hooke F = kx)

Teremos:

Peso = kx
m.g = k.x
2.10 = k.0,1
20 = 0,1k
ou
0,1k = 20
k = 20/0,1
k = 200 N/m

Como descobrimos a constante elástica da mola (k) vamos agora à segunda parte do enunciado e para isto precisaremos relembrar a fórmula T = 2π√(m/k)
Temos m=2 kg e k=200N/m, só precisamos descobrir o período das oscilações T.

T= 2.3,14. (2/200)
T= 6,28. 1/100
T=6,28/10

T=0,628 s


Ondulatória

Uma corda de violão tem 0,6 m de comprimento. Determine os três maiores comprimentos de ondas estacionárias que se pode estabelecer nessa corda.

Resolução:

A fórmula para este problema é que o número de ventres (n) multiplicado pela metade do comprimento de onda ʎ nos dá o comprimento L da corda de violão assim teremos:

n.ʎ/2 = L

ʎ = 2L/n

Foram pedidos os 3 maiores comprimentos de onda portanto como n e ʎ são INVERSAMENTE proporcionais quanto menor for o valor de n maior será o valor de ʎ uma vez que L é constante.
Teremos que encontra os três primeiros números inteiros não nulos e não negativos ora na matemática é o conjunto Naturais não negativos e não-nulos.
{ 1,2,3} são os três menores valores .

Então:
Para n=1 ʎ=2.0,6m/1
ʎ = 1,2 m

Para n=2 ʎ=2.0,6m/2
ʎ = 0,6 m

Para n=3 ʎ=2.0,6m/3
ʎ = 0,4 m

Combinatória
Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 4845
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700

Análise Combinatória

Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 3230
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700