19 de mai de 2009

P.A, e P.G.

Os números x,y e z formam uma P.A. crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8 unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma P.G. Então o valor de z é?

Resolução:

PA:
a1=x
a2=y
a3=z
x+y+z=48

PG:
a1=x
a2=y
a3=z+8

Na PA teremos:
y-x=z-y
Na PG teremos:
y/x=(z+8)/y
y²=x(z+8)

Temos então um sistema com 3 equações:
x+y+z=48
2y=z+x
y²=x(z+8)
Como queremos z, isolaremos x na 1ª eq. e substituiremos nas outrs duas equações:
x=48-y-z

2y=z+(48-y-z)
y²=(48-y-z).(z+8)

Isolaremos agora o y em 2y=z+(48-y-z):
2y=z+48-y-z
2y+y=z-z+48
3y=0+48
3y=48
y=16 ( Descobrimos o valor de y)
Vamos agora jogar y=16 na última equação:
y²=(48-y-z).(z+8)
16²=(48-16-z).(z+8)
256=(32-z).(z+8)
256=32z+256-z²-8z
z²-24z=0
Resolvendo por Báskara encontramos:
z´=0 e z´´=24

x=48-y-z
x=48-16-0
x=32
ou
x=48-16-24
x=8
A PA pode ser:
32,16,0
ou
8,16,24
Como foi dito que a PA é crescente então:
8,16,24
Portanto z=24.

HIDROSTÁTICA EMPUXO E PESO APARENTE

Um cubo de 10 cm de aresta que possui 1,5 kg de massa é abandonado na água. Considerando-se g=10m / s², determine:
a) A massa específica do corpo.
b) O empuxo exercido pela água sobre o corpo.
c)O peso aparente do corpo.

a)
A massa específica de um corpo é dada por m/V.
m=1,5kg
V=10cm.10cm.10cm=0,1m.0,1m.0,1m
V=0,001m³=1000.0,001L=1L

d=1,5kg/1L
d=1,5kg/L

b)
O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, vamos considerar a massa de água no volume do cubo:
mágua=?
dágua=1kg/L
Vágua=1L

mágua=dágua.Vágua
mágua=1kg/L . 1L
mágua= 1kg
O peso da massa de água será:
P=mágua.g
P=1kg.10m/s²
P=10N
Este peso é igual ao empuxo:
E=Págua
E=10N

c)
O peso aparente é a subtração entre o peso do corpo e o empuxo:
Pcubo=mcubo.g
Pcubo=1,5kg.10m/s²
Pcubo=15N

Paparente=Pcubo-Empuxo
Paparente=15N-10N
Paparente=5N

ANÁLISE COMBINATÓRIA

O chefe da seção de laticínios de um supermercado quer arrumar 6 marcas diferentes de ervilhas em lata em duas prateleiras. Três delas ficarão na primeira prateleira e as outras três na segunda. De quantas maneiras ele pode escolher as marcas que ficarão em cada prateleira?

Resolução:
Vamos primeiro formar as combinações de 6 em dois grupos.
C6,2=6!/[2!.(6-2)!]
C6,2=6!/2!.4!
C6,2=6.5.4!/[2.1.4!]
C6,2=6.5/2
C6,2=3.5
C6,2=15

Como são dois grupos, temos que saber qual irá ficar na 1ª prateleira e qual irá ficar na 2ª:
C2,1=2!/1!(2-1)!
C2,1=2.1/1.1
C2,1=2

O resultado será pelo PFC:
C6,2.C2,1
15.2
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CINEMÁTICA VETORIAL

Três astronautas, impulsionados por backpacks a jato, empurram e guiam um asteróide de 120 Kg em direção a uma plataforma de processamento, exercendo as forças mostradas na figura abaixo. Qual é a aceleração do asteróide
(a) na notação de vetor unitário?
(b) em módulo?
(c) em direção?