15 de set de 2009

Análise Combinatória

Se eu tenho um Motel com 6 portas.
De quantas maneiras eu posso deixar meu Motel aberto?


RESOLUÇÃO:
Vejamos, designaremos as portas de A, B, C, D, E e F.
Para a porta A existem duas possibilidades aberta ou fechada.
Para todas as outras também.
Vc só precisa usar o PFC.

2X2X2X2X2X2=64 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
64-1=63 formas de o motel estar aberto.


Poderíamos utilizar o princípio da indução finita para provar a validade do raciocínio exposto acima, pense em 3 portas A, B e C.

a f f
a a f
a a a
a f a
f a f
f a a
f f f
f f a

2X2X2=8 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)

Observe que há só uma forma de que o motel esteja fechado que é f f f, logo subtraímos 1 de 8 para que ele fique aberto.
8-1=7

OBS: Questão retirada de uma comunidade e que foi postada por um membro chamado Daniel, achei interessante e postei para vcs verem esta resolução.
Portanto os créditos da questão vão para o Daniel.

14 de set de 2009

Polinômios

Sem efetuar a divisão, determinar a e b de forma que o polinômio f=(x+2)³+(x-1)³+3ax+b seja divisível por g=(x-2)².

Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]

Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b

g=x²-4x+4

Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)

Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:

c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d

Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d

d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d

Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11

a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37

Portanto a=-17 e b=37

8 de set de 2009

Funções de 1º grau

Seja a função f, de R em R, dada por f(x)= Kx + t, em que k e t são constantes reais. Se os pontos (-1,3) e (0,-1) pertencem ao grafico f, então:

a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
d) f(x) < 0 se x = -2
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2

Resolução:

a) f é crescente, para todo x E(pertence) R

Primeiro substitua os valores de x e y pertencentes aos dois pares ordenados (-1,3) e ( 0,-1).

3=k.(-1)+t
e
-1=k.0+t

Teremos um sistema de duas equações, precisaremos descobrir os valores de k e t.
3=-k+t
-1=t

Sabendo o valor de t na segunda equação jogue na primeira:
3=-k-1
Invertendo os membros:
-k-1=3
k+1=-3
k=-3-1
k=-4
Portanto a função é definida por f(x)=-4x-1.
Para saber se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente vc só precisa saber se o número que acompanha o x ( Variável independente) é negativo ou positivo, vamos tomar como exemplo uma função da forma f(x)=ax+b, observe a regra:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Como na função dada a=-4, teremos que a função será sempre decrescente para todo x pertencente ao conjunto dos números reais, ok? Portanto a assertiva A está INCORRETA.

b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0

Para conhecermos a raiz de uma equação de 1º grau temos que fazer y=0, como nossa função é expressa por y=-4x-1, é só substituirmos y por 0 para achar a raiz x.
0=-4x-1
4x=-1
x=-1/4
Como 3/4 é diferente de -1/4 concluímos que a assertiva B está INCORRETA.

c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f

Para saber se um dado par ordenado pertence ao gráfico de uma função precisamos substituir x ou y e encontrar o valor correto para a variável restante:

Se começarmos com x=-10:
y=-4x-1
y=-4.(-10)-1
y=+40-1
y=+39 ( Errado pois o valor de y deveria ser 41 para que a alternativa estivesse certa)

Se usarmos y=41:
y=-4x-1
41=-4x-1
4x=-1-41
4x=-42
x=-42/4 ( Errado pois o valor de x deveria ser -10 para que a alternativa estivesse certa)

Portanto a assertiva C está INCORRETA.

d) f(x) < 0 se x = -2

Aqui temos uma inequação de 1º grau, vamos substituir a expressão matemática da função f(x):

-4x-1<0
-4x<+1
Aqui precisamos tomar cuidado redobrado, a regra é que SEMPRE que multiplicarmos os membros de uma inequação por -1 temos que inverter o sinal da desigualdade:

(-1).-4x>-1.(+1)
+4x>-1
x>-1/4
Como -2<-1/4 concluímos que f(x)>0 para x=-2 logo a assertiva D está INCORRETA.

e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2

Uma regra que sempre ensino a meus alunos é que estudem a vizinhança de pontos em torno da raiz da função que gera a inequação.

f(x)=-4x-1
Como vimos a raiz é -1/4
Neste caso nem precisaremos utilizar a raiz.

Substitua x= 1/2 em f(x) e observe o sinal resultante.

f(x)=-4x-1
f(1/2)=-4.1/2-1
f(1/2)=-4/2-1
f(1/2)=-2-1
f(1/2)=-3
A proposição afirmava que f(x) deveria ser igual ou MENOR que zero, o valor y=-3 é MENOR que zero logo a assertiva está CORRETA.