5 de set de 2011

PROBABILIDADE

Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é P(A) = 1/3 e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B) = 2/3. Admitindo os eventos A e B independentes, se os dois atiram, calcule as probabilidades abaixo:

a) Nenhum atingir o alvo,
b) Os dois atingirem o alvo.

RESOLUÇÃO:

a)Vamos calcular primeiro as chances da 1ª pessoa errar o alvo é só calcularmos utilizando a fórmula P(A)+P(ñA)=1, ou seja, a soma das probabilidades da 1ª pessoa acertar com a probabilidade de errar é igual porque a pessoa acerta ou erra.

1/3 + P(ñA) = 1
P(ñA) = 1-1/3
P(ñA) = 2/3

Analogamente para a 2ª pessoa teremos:

P(B)+P(ñB)=1
2/3+P(ñB)=1
P(ñB)=1-2/3
P(ñB)=1/3

Como queremos a probilidade de os dois errarem o alvo e estes são eventos independentes usaremos a fórmula P(ñA ñB) = P(ñA).P(ñB).

P(ñA e ñB) = 2/3.1/3
P(ñA e ñB) = 2/9

b) Para os dois atingirem o alvo é só usarmos também P(A e B) pois são eventos independentes, ou seja, A acertar ou errar não influencia em B acertar ou errar e vice-versa:

P(A e B) = P(A).P(B)
P(A e B) = 1/3 . 2/3
P(A e B) = 2/9

PROBLEMINHA SIMPLES USANDO DERIVADAS

Dividir o número 120 em duas partes tais que o produto P de uma pelo quadrado da outra seja máximo.

RESOLUÇÃO:

Vamos chamar uma das partes de x, a outra será (120-x).
O produto destas duas partes será dado então por P=x².(120-x).
Portanto teremos:

P=120x²-x³

Derivando a função P teremos:

dP/dx = 240x - 3x²

Queremos que P seja máximo, logo dP/dx =0:

0=240x - 3x²

3x²-240x = 0 ( Equação incompleta do 2º grau)

Logo x´= 0 e x´´= 80

Eliminamos sem problemas a raiz x=0, logo as partes procuradas são:

x=80 e (120-x) = 120-80=40

P.A.

A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 15 equipes no sistema de turno e returno ( a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo do adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema?

RESOLUÇÃO:

Vamos fixar a 1ª equipe, ela jogará 2 vezes contra 14 adversários, a equipe 2 jogará contra 13 duas vezes também, assim teremos

1ª equipe = 2x14 = 28 jogos
2² equipe = 2x13 = 26 jogos
.
.
.
14² equipe = 2x1 = 2 jogos
15² equipe = 2x0 = 0 jogos

Observe que podemos tratar este exercício como uma PA de razão r=-3, termo inicial a1=28 e calcular a soma de seus termos:

Sn = ( a1+an).n/2
Sn = (28 + 0).15/2
Sn = 28.15/2
Sn = 14.15
Sn = 210 jogos na 1ª fase

Na fase final teremos duas partidas, então 210+2 = 212
Ao final do campeonato teremos 212 partidas.

OUTRA FORMA DE RESOLVER:
Podemos resolver também por Análise Combinatória usando os arranjos de n elementos tomados p a p:
A15,2=15!/13!
A15,2=15.14.13! / 13!
A15,2= 15.14
A15,2= 210

Agora somamos com as partidas finais (2):

210+2=212

Problema de Análise Combinatória

Arnaldo, Bruno, Cláudio, Danilo, Eliza, Fabiana e Heloisa serão sorteados para compor uma comissão de 4 pessoas da siguinte forma: Serão soteados 2 dentre os quatro homens, e 2 dentre as três mulheres. A chance de Bruno ser sorteado para compor a comissão com Elisa é igual a:
A) 7/70
B) 2/5
C) 1/4
D) 1/3
E) 1/2

RESOLUÇÃO:

Primeiro temos que observar quais grupos podem ser formados dos 4 homens e 3 mulheres.
Para os homens:
C4,2=4!/2!2!
C4,2=6

Para as mulheres:
C3,2=3!/2!1!
C3,2=3

O total de grupos que será nosso espaço amostral é C4,2 . C3,2 = 6.3 = 18

Agora vamos ver as formas como Bruno e Elisa podem ser escolhidos:
Bruno
C3,1=3!/1!2!
C3,1=3

Elisa:
C2,1=2!1!1!
C2,1=2

Multiplique estes eventos ( Bruno e Elisa fazerem parte das comissões) será o nosso evento:
C3,1.C2,1 = 3.2 = 6

Agora calcule a probabilidade do nosso evento:
P = 6/18
P = 1/3

Letra D)

Problema de Análise Combinatória

Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reune-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos, três rapazes e três moças. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que marcela participe e mário não participe.

Resolução:

Como se trata de um problema envolvendo comissões a ordem dos elementos não importa, logo iremos trabalhar com a fórmula das combinações, porém observe que são dois grupos: O de rapazes e o de moças e além disso existe a condição de que 1 moça ( Marcela) e 1 rapaz ( Mário) não participem das comissões então excluiremos estes dois dos cálculos.

Rapazes:
Se não excluíssemos seria assim: C 10,3, no entanto Mário deve ser excluído então n = 10-1
Logo: C9,3 = 9!/3!(9-3)!

C9,3 = 9.8.7/3.2.1
C9,3 = 3.4.7
C9,3 = 84

Moças:
Aqui teremos que incluir Marcela no conjunto de 5 moças logo n= 5 e p=2

C4,2 = 4!/2!2!
C4,2 = 4.3.2!/2!.2!
C4,2 = 12/2
C4,2 = 6

Para sabermos as comissõers possíveis usamos o princípio multiplicativo da contagem:

C9,3 . C4,2

84.6

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