14 de abr de 2009

Noções de Cálculo Diferencial

Introdução ao cálculo diferencial

O cálculo diferencial tem sua história iniciada por Isaac Newton para ser utilizado como ferramenta matemática na Física, Newton quando iniciou suas pesquisas do que viria a se tornar mais tarde a Mecânica Newtoniana deparou-se com uma problemática que envolvia valores cada vez menores, imagine por exemplo um móvel descrevendo uma trajetória curva, se considerarmos dois pontos desta trajetória à medida em que o ponto P1 se aproxima do ponto P2 a trajetória ficará mais "reta", veja a figura abaixo:Observe que quando o ponto b1 vai em direção ao ponto b2 o ponto a1 se aproxima de a2 e a curva se aproxima de uma linha reta, Newton então começou a imaginar o conceito de infinitésimais que guardam uma estreita relação com a noção de limite.

A razão incremental

Incremento em linguagem matemática significa variação, em uma função de 1 variável ( Estudo no qual inicialmente vamos nos concentrar) teremos a abscissa (x) e a função [f(x) ou y] cujo valor depende dela.
Por definição o incremento da variável x é dado por (x-xo) e o incremento da função f(x) é dado por f(x) - f(xo).
A razão incremental seria f(x)-f(xo)/x-xo.

Exemplo:
Na função F(x) = x² - 2x quando a variável independente passa do valor 2 para 4, pergunta-se:
a) Qual o incremento da variável independente?
b) Qual o incremento da variável dependente?
c) Qual o valor razão incremental?

Resolução:
a) Variável independente neste caso será o x, portanto seu incremento é dado por:
xo=2 e x=4
x-xo=4-2
x-xo=2 (Que nada mais é que o delta de x)

b) Variável dependente é aquela que "funciona" de acordo com a variável independente x, logo seria a própria função:
F(xo)=xo²-2xo
F(2)=2²-2.2
F(2)=4-4
F(2)=0

F(x)=x²-2x
F(4)=4²-2.4
F(4)=16-8
F(4)=8
Portanto o incremento da variável dependente será:
F(x)-F(xo)=F(4)-F(2)
F(x)-F(xo)=8-0
F(x)-F(xo)=8 ( Valor do delta de y)

c)A razão incremental por definição é dada por:
R=F(x)-F(xo)/x-xo
R=8/2
R=4

Limites e o conceito de derivada


Vamos utilizar agora a noção de limites e tentar ligar este conceito à derivada de uma função.
Como foi visto, a razão incremental é dada por:
R=F(x) - F(xo)/x-xo
Por definição a derivada de uma função é o limite da razão incremental quando x tende a assumir o valor xo:

dy/dx =
lim f(x)-f(xo)/x-xo
x->xo
Como exemplo, imaginemos a função f(x)= x²-2x, vamos mostrar como chegar à derivada usando o limite acima.

f(xo)=xo²-2xo
f(x) =x²-2x

y´=lim (x²-2x) - (xo²-2xo)/x-xo
x->xo
y´=lim x²-xo²-2x-2xo/x-xo
x->xo
y´=lim (x+xo).(x-xo)-2(x-xo)/x-xo
x->xo
y´=lim (x-xo).[x+xo-2]/x-xo
x->xo
y´=lim [x+xo-2]
x->xo
y´=x+x-2
y´=2x-2
Esta é a derivada da função x²-2x encontrada usando-se a definição.

Exercício Gravitação

Dois planetas esféricos P1 e P2 tem raios respectivamente iguais a R e 5R. Desprezando os efeitos ligados as rotações verifica-se que a intensidade da aceleração da gravidade na superfície de P1 é g○ e na supefície de P2 é 10 g○.Qual a relação entre as densidade absolutas de P1 e P2?

Resolução:

A expressão do cálculo de g é dada por:

mg = GmM/R²
Logo:

g = GM/R²
A densidade de um corpo esférico é dada por:

d=M/V
V=4/3 pi R³
Então:
d=M/(4/3piR³)
d= 3M/4piR³ ---> d=3/(4piR) .M/R²
Substituindo em g=GM/R²
g = G.d.4piR/3
g = (4piG.d.R)/3

g1=4piGd1R1/3
e
g2=4piGd2R2/3

g1/g2=d1R1/d2R2
g1R2/g2R1=d1/d2

d1/d2 = g1R2/g2R1
d1/d2 = g.5R/10g.R
d1/d2 = 1/2
d1 = d2/2

Exercício Cinemática Halliday

Uma bola de tênis cai do telhado de um edifício, sem velocidade inicial. Um observador, parado na frente de uma janela de 1,20 m de altura nota que a bola leva 1/8s para cair desde o alto da janela até a sua base. A bola de tênis continua a cair, choca-se elasticamente com a calçada horizontal e reaparece na parte inferior da janela 3s depois de ter passado naquele ponto de descida. No choque elástico há conservação de energia cinética. Qual é a altura do edifício?

Resolução:

Para avaliarmos a questão vamos começar do final, há conservação da energia cinética, ou seja, a lei de Helmholtz é observada neste experimento:

mv1²/2 + mgh1 = mv2²/2 + mgh2
Notemos primeiro que foi dito que o tempo de passagem da bola pelo observador é de 1/8 s, para uma altura de 1,2m, agora nos perguntemos, para que foram fornecidas estas informações?
Resposta: Para que possamos ter referências quanto à velocidade da bola:
V = Vo - gt
V = Vo - 10 * 1/8 ( Vo=V+10/8)
e
V² = Vo² -2gS
V² = Vo² - 20* 1,2
V² = Vo² - 24
V² = (V+10/8)² -24
V² = V² + 20/8V + 100/64-24
20/8V = -24+1,5625
2,5V = -22,4375
V = -8,975m/s ( Sinal negativo indica sentido oposto à orientação positiva do sistema referencial).
O que nos importa saber é que o tempo de subida da bola até o observador será 3/2 = 1,5 s, logo a altura em que se encontra a base da janela será:
0 = h - 100/12 * 1,5 - 5 (1,5)²
h = 150/12 + 11,25
Vamos agora usar conservação da energia:
Excluindo a massa teremos:
Vo²/2 + gH1 = V2²/2 + gH2
Nível janela Alto do edifício
(-8,975)² + 10 ( 150/12 + 11,25) = 0²/2 + 10 Hedifício
80,550625+ 10 ( 12,5 + 11,25) = 10 X
80,550625 + 10 (23,75) = 10X
80,550625 + 237,5 = 10X
318,050625 = 10X
X = 318,050625/10
X = 31,8050625
Obs: A diferença entre as respostas está no fato que eu usei g = 10 m/s², no livro devem ter usado g=9,78m/s², se tivesse sido fornecido isso na questão não teria dado a diferença 31,8-31,6= 0,2)

Exercício Cinemática

Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos: (a) A atleta anda 150 m com velocidade de 1,5 m/s e depois corre 100 m com velocidade de 4 m/s ao longo de uma pista retilínea. (b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 m/s e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 m/s ao longo de um caminho em linha reta.

Resolução:

Realmente a velocidade média e a média das velocidades são conceitos fisicamente distintos.
Vamos ao que interessa:
a) O cálculo pedido é o da velocidade média, por definição ela é expressa por Vm = (S1 + S2+...+Sn)/(T1+T2+...+Tn).
Logo, da expressão acima concluímos que velocidade média é calculada através da divisão da soma de todos os espaços percorridos pela soma de todos os tempos gastos em cada espaço.
Temos que calcular cada tempo gasto em cada um dos percursos, com efeito, teremos:
S1 = V1 . T1
150m = 1,5 m/s . T1
T1 = 150/1,5
T1 = 1500/15
T1 = 100s

Analogamente, para o trecho 2:
S2 = V2 . T2
100m = 4m/s . T2
T2 = 100/4
T2 = 25s
Para finalizar, temos que jogar na fórmula inicialmente descrita:
Vm = (S1 + S2)/(T1 + T2)
Vm = (150 + 100)/(100+25)
Vm = 250/125
Vm = 2m/s

b) Para este item não foram dados explicitamente os deslocamentos, porém foram dados os recursos para calcularmos:
S1 = V1 . T1
Obs: Temos que converter os tempos para segundos ( É só multiplicarmos por 60)
T1=60 . 2
T1=120s
T2=60 . 3
T2=180s
V1=1,5m/s
V2=4,5m/s
Voltando ao cálculo dos deslocamentos:
S1=V1 . T1
S1=1,5 . 120
S1=180m
S2=V2 . T2
S2=4,5 . 180
S2=810m

Pronto, vamos finalmente jogar na expressão inicial:
Vm = (S1 + S2)/(T1 + T2)
Vm = (180+810)/(120+180)
Vm= (990)/300
Vm=3,3m/s

Exercício Funções

(UF.OURO PRETO) - Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. A empresa cobrará do grupo 2.000 dólares por cada passageiro embarcado, mais 400 dólares por cada passageiro que não embarcar.
Pergunta-se:
a) Qual a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e o numero de passageiros embarcados?
b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros?
c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96.000 dólares?

Resolução:

Vamos utilizar a álgebra:

x = nº de passageiros embarcados
y = nº de passageiros não-embarcados

Como foi dito que o "grupo" é constituído de 100 pessoas:
x + y = 100

Sempre o grupo pagará um valor determinado pela seguinte expressão:

V = 2.000x + 400y
Logo, o que temos a fazer é isolar o y e substituir em V:

y = 100 - x

V = 2.000x + 400 ( 100 - x)
V = 2.000x + 40.000 - 400x
V = 1.600x + 40.000

a) É a expressão acima ( V como função de x).

b) x=50
V = 1.600 * 50 + 40.000
V = 80.000 + 40.000
V = 120.000

c) V = 96.000
96.000 = 1.600x + 40.000
96.000 - 40.000 = 1.600x
56.000 = 1.600x
x = 56.000/1.600
x = 35 pessoas embarcaram.

Exercício Lucro ou Prejuízo em vendas

Uma certa mercadoria que custa R$840,00 é vendida com prejuízo de 20% sobre o preço DE VENDA. Qual o preço de venda dessa mercadoria ?

Resolução:

A solução algébrica deste tipo de problema é simples.
Muitas vezes é melhor resolver por algébra do que resolver por aritmética.
Como dizia Galileu: " A Matemática é a rainha das ciências e a algébra é a princesa da Matemática"
Bom, então vamos à algébra.
Vamos captar os dados:
Pv = Preço de venda
Pc = Preço de custo
L&P = Lucro ou prejuízo apurado na venda

Do enunciado temos:
Pv=?
Pc=840
L&P= - 20%Pv ( Sinal negativo indica prejuízo)

A equação que apura o resultado é dada por:

L&P = Pv - Pc
- 0,2 Pv = Pv - 840
840 = Pv + 0,2 Pv
1,2Pv = 840
Pv = 840/1,2
Pv = 8400/12
Pv = R$700,00
Fácil demais, não e mesmo?

Exercício 1 Juros Simples

Uma empresa de calçados emprestou para uma empresa de cosméticos uma quantia X a uma taxa de 0,002% ao dia,
recebendo, posteriormente, R$ 7/4 do valor dessa quantia. Por quanto tempo o capital foi empregado em meses, se
ele foi capitalizado no sistema simples?
A) 8 meses.
B) 9,5 meses.
C) 12,5 meses.
D) 11 meses.
E) 13 meses.

Resolução:

Como se trata de capitalização simples a fórmula utilizada será a de juros simples, retirando os dados da questão:

C = x
M = 7x/4
i = 0,002% a.d.

Vamos agora mostrar a fórmula que relaciona Capital, Montante, Tempo e Taxa:

M = C + Cit/100
Ou ainda:
M = C ( 1 + it/100)
Como a resposta está em meses, teremos que converter a taxa diária para taxa mensal, é só utilizar regra de três:

0,002% a.d. ----------- y
1% a.d. ----------- 30%a.m.
y/30 = 0,002/1
y = 30 x 0,002
y = 0,06% a.m.
Pronto, agora é só jogar na fórmula do Montante:
7x/4 = x ( 1 + 0,06t/100)
7/4 = 1 + 0,06t/100
7/4 - 1 = 0,06t/100
3/4 = 0,06t/100
300/4 = 0,06t
t = 300/0,24
t = 1250 meses

Observação: Creio que devemos fazer uma retificação no problema, você afirmou que a taxa tinha %, acredito que não, a taxa pode vir em duas formas, a percentual ( Com percentagem) e a unitária ( Sem percentagem), portanto creio que a taxa certa seria 0,002 a.d. e aí sim obteríamos o resultado 12,5 meses, é só dividir o resultado encontrado acima por 100:
t = 1250/100
t = 12,5 meses. Letra (C)

Exercício 1 Dilatometria

Para variar uma questão de dilatação de sólidos.
Uma barra de cobre, cujo coeficiente de dilatação linear é 17X10 6°C¹, tem comprimento 200 cm à temperatura de 50 °C. Calcule o comprimento dessa barra à temperatura de 450°C.

Resolução:

A dilatação linear para sólidos é regida pela seguinte expressão matemática:

Lf = Li + Li*@*Var T
Onde:
Lf= Comprimento final
Lo=Comprimento inicial
@= Coeficiente de dilatação linear (Depende do material que constitui o corpo, alumínio, cobre, ouro, etc...)
VarT = Acréscimo ou decréscimo de temperatura em graus celsius ou seja variação na temperatura é dada por Tf - Ti)

Vamos coletar os dados:
Lf=?
Li=200cm
Ti= 50º C
Tf= 450º C
@ = 17x 10exp-6 ºCexp-1 ( Acho que você esqueceu o sinal negativo na potência de dez pois o valor de @ é tabelado)

Lf = 200 + 200 x 17 x 10exp-6x( Tf - Ti)
Lf = 200 + 2 x 10exp2 x 17x 10exp-6 (450 - 50)
Lf = 200 + 34 x 10exp -4 x 400
Lf = 200 + 34 x 4x 10exp-4x10exp2
Lf = 200 + 136x10exp-2
Lf = 200 + 136 x 0,01
Lf = 200 + 1,36
Lf = 201,36 cm

Exercício 4 Hidrodinâmica

A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga (hf =0).
Vamos então calcular D1 através da equação da continuidade:
Q=S.V
Q1=S1.V1
Q1=pi r1².V1
Q1=pi.(D1/2)².V1
3,14 l/s = 3,14.(D1/2)².V1
10exp-3 = D1²/4.1
0,001 = D1²/4
D1² = 0,004
D1 = V0,004
D1 = 0,063245553...m
D1 = 63,245553...mm
Para um Tubo de Venturi é fácil demonstrar que a velocidade de escoamento no ponto 2 é dada por:

v2² = S2 . Raiz quadrada [2(p´-p)gh/p(S1²-S2²) ( Halliday/Resnick Vol.2)

Exercício 3 Hidrodinâmica

No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250 litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4 litros/h cada, distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho.

Resolução:
Os gotejadores vão diminuir a vazão.
Como cada gotejador está a uma distância de 0,5m um do outro, em um trecho de 20m teremos 20/0,5 gotejadores:

20/0,5=200/5=40 gotejadores

Cada gotejador diminui a vazão em 4l/h, logo 40 gotejadores diminuirão em:
40.4 L/h=160L/h

Portanto a vazão final será:

250L/h - 160L/h = 90 L/h

Exercício 2 Hidrodinâmica

Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro terá que aumentar 41%.

Resolução:
Outra vez utilizaremos a famigerada equação da continuidade.
Primero vamos dar um tratamento algébrico:
Sabemos que: Q=S.v
Como temos duas secções e as velocidades são iguais (Válida para escoamento irrotacional, não-vicoso, incompressível e estacionário):

Q1=S1.v1
Q2=S2.v2

Sendo 2Q1=Q2 e v1=v2 e ainda considerando as áreas como circulares:
2.pi.(r1)².v1=pi.(r2)².v2
2.r1².v1=r2².v2
v1=v2, então:
2.r1² = r2²
Como falamos em diâmetros:
D1=2r1 e D2=2r2
Substituindo:
2.(D1/2)² = (D2/2)²
(D2/2)² = 2.(D1/2)²
Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:
D2/2 = raiz2 . D1/2
D2=(raiz de 2) .D1
A raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1,41, então:
D2 = 1,41D1
A variação no diâmetro é de 0,41 que multiplicado por 100% dá 41%.

Exercício 1 Hidrodinâmica

50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8”. Esta tubulação, de ferro fundido, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”. Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos dois trechos. Dado: 1’’ = 2,54cm.
Resolução:
Vamos utilizar a equação da continuidade, sendo Q a vazão, teremos:
Q= constante
Q= S.v
Onde:
S = Área transversal por onde passa o fluido
v = Velocidade do fluido.
Consideremos dois pontos 1 e 2:
Q1 = S1.v1
Q2 = S2.v2
Como Q é constante:
Q1=Q2 ---> S1.v1=S2.v2
O primeiro raio é 7/2=3,5´´=3,5.2,54cm=8,89cm
O segundo raio é (6-1/2-1/2)´´/2=5´´/2=2,5´´=2,5.2,54cm=6,35cm

Chegamos à fórmula:
pi(r1)².v1=pi(r2)².v2
Substituindo r1 e r2:
(8,89)².v1=(6,35)².v2
79,0321v1=40,3225v2

Agora temos que encontrar v1, para isso vamos usar os dados:
Q1=50l/s=50.0,001m³/s=0,05m³/s
r1=8,89cm=8,89.0,01m=0,0889m
Logo:
Q1=S1.v1
Q1=pi(r1)².v1
0,05m³/s=3,14.(0,0889)²m².v1 (Seria mais simples expressando em potências de 10, porém os recursos que temos no blog não dão suporte, se alguém souber como, me avisem).
0,05m³/s=0,024816079...m².v1
v1=0,05/0,024816079...
v1=2,014822696...m/s
Arredondando para duas decimais:
v1=2m/s
Para calcular v2, usemos a expressão 79,0321v1=40,3225v2, teremos:
79,0321.2=40,3225v2
158,0642=40,3325v2
v2=158,0642/40,3325
v2=3,919028079...m/s
v2=3,92m/s Aproximadamente.




DESAFIO 8 FÍSICA Nível Superior RESOLUÇÃO

Vamos utilizar integração dupla através da fórmula:
dm/dx.dy = M/a.b ( Onde M é a massa da placa).

I = S r² dm
I = SS (x²+y²) . (M/a.b) . dxdy
a/2 b/2
I = M/ab S dy S (x²+y²) dx
-a/2 -b/2

Resolvendo a integral em x:
b/2
I = M/ab S (x²+y²)
-b/2

continua...