14 de set de 2009

Polinômios

Sem efetuar a divisão, determinar a e b de forma que o polinômio f=(x+2)³+(x-1)³+3ax+b seja divisível por g=(x-2)².

Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]

Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b

g=x²-4x+4

Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)

Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:

c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d

Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d

d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d

Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11

a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37

Portanto a=-17 e b=37