26 de mar de 2009

Desafio 3 Física

Esta é de nível superior.

A aceleração de uma partícula caindo sob a ação da gravidade e de uma força resistiva, como a resistência do ar, é dada por:

a = dv/dt = g – Bv

onde g é aceleração da gravidade e B uma constante, que depende da massa e da forma da partícula, e do meio em que ela se move. Suponha que a partícula comece a mover-se em t = 0 s.

a) mostrar que a equação pode ser escrita como df / f = - B dt, onde f = g – Bv

b) ache a integral indefinida de cada membro desta equação e resolva em v, usando o fato de ser exp ( ln f )=f. Ache a constante de integração em termos de g e de B a partir da condição inicial v=0 em t=0.



Einstein X Newton

Certa vez perguntaram a mim sobre quem eu considerava o maior físico de todos os tempos, respondi de imediato que na minha humilde opinião seria Sir Isaac Newton, físico inglês nascido no solar de Woolsthortpe em uma colina perto do rio Whitam, a característica marcante deste físico é que era capaz de fazer grandes descobertas e incrivelmente guardá-las para si mesmo, ou seja ele nunca quis promover-se e nem procurou obter vantagens com suas descobertas que com certeza foram inúmeras, na época de Newton havia uma questão proposta pela Royal Society Inglesa e que intrigava os pesquizadores na época. A pergunta era: " Qual a forma da trajetória descrita por um corpo em torno do sol?". Quando Edmund Halley indagou Newton sobre tal problema ele respondeu prontamente: "Ora, é uma elipse", Halley então perguntou como ele sabia disso, ao que Newton respondeu que tinha calculado. Lembro inclusive de ter lido que certa vez quando foi questionado sobre suas grandes descobertas ele desabafou: " Não sei como o mundo me julgará, sou como uma criança em uma praia encontrando conchas mais bonitas que as demais crianças, enquanto o grande oceano da verdade permanece misterioso a minha frente"
Por outro lado não entendo porque existe uma verdadeira adoração a Albert Einstein, quando este descobriu suas teorias, ele só conseguiu este feito devido ao esforço de físicos anteriores, inclusive Newton possuía uma característica marcante que era o fato de que quando precisava do aparelho matemático para utilizar em suas teorias, ele mesmo desenvolvia, por outro lado Einstein precisava de matemáticos para incrementar suas descobertas, tais como Hilbert, Poincaré, até mesmo uma de suas esposas, que se não me engano chamava-se Mileva Maric, até o acesso as literaturas especializadas na época de Newton eram mais raras, este se isolou em uma fazenda em Lincolnshire.
Continua...

DESAFIO 3 - Matemática

A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2 brancas. Uma bola é retirada ao acaso da urna I e colocada na urna II, em seguida uma bola é retirada da urna II ao acaso. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser:

a) vermelha? b) amarela? c) branca?

Quer uma sugestão?

Utilize o teorema da probabilidade total em conjunto com o teorema da multiplicação.

DESAFIO 2 - Matemática

Qual o valor de "a" na expressão : a/3 - 1/4 + a/9 - 1/8 + a/27 - 1/16 + a/81 - 1/32 + ... = 2.

DESAFIO 2 - Física RESOLUÇÃO

Para resolver esta questão primeiramente nos lembremos de que para espelhos esféricos côncavos, vale a seguinte regra:

f>0 e R>0 (Traduzindo: foco e Raio de curvatura positivos)

Também precisamos ter memorizado:

f= R/2

1/f = 1/p + 1/p´ ( Equação dos pontos conjugados ou equação de Gauss)

A = - p´/p= i/o
Onde:
A = Aumento linear transversal
p = Distância do objeto ao espelho
p´=Distância da imagem ao espelho
o = Tamanho do objeto ( Altura do objeto)
i = Tamanho da imagem ( Altura da imagem)

a) Retirando os dados da questão:

R = +24 cm
o = 4 cm
p = +48 cm ( Positivo porque o objeto é real ou seja fora do espelho)

Primeiro vamos achar o foco do espelho, é muito fácil:
f = R/2
f = +24/2
f = +12 cm

Portanto como possuímos f e p, temos condições de calcular o item (a) através da equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p´ ( lembrem-se de que é uma soma de inversos, logo usaremos o artifício postado em truques matemáticos neste site ou calcula-se através de M.M.C)

1/12 = 1/48 + 1/p´

Invertendo os mebros da equação:

1/48 + 1/p´ = 1/12

Isolando o termo 1/p´:

1/p´= 1/12 - 1/48
1/p´= 4/48 - 1/48
1/p´= 3/48
1*48 = 3*p´
3p´= 48
p´=48/3
p´= 16 cm ( Observem que p´ou seja a distância da imagem ao espelho deu um valor positivo, quer dizer que fisicamente a imagem é real pois está fora do espelho)

Temos então a primeira resposta.

b) Para caracterizar a imagem temos que dizer se ela é real ou virtual, direita ou invertida, reduzida ou ampliada.
Possuímos a primeira informação, a imagem é real, agora como saberemos se ela é direita ou invertida, reduzida ou ampliada?
Simples, para o primeiro caso, ou seja direita ou invertida é só olharmos para a expressão:
A = -p´/p

Temos duas situações, a saber, se A>0 a imagem é direita e do contrário se A<0 a imagem será invertida.

A = - ( + 16)/+48
A = - 1/3 ( Sinal negativo quer dizer imagem invertida)

Finalmente para sabermos se ela é reduzida ou ampliada, é só olharmos para o numerador e denominador:

A Numerador = 1 Denominador = 3, como i está no numerador e o está no denominador, proporcionalmente i será menor do que o, ou seja a imagem é menor do que o objeto, portanto imagem reduzida.

DESAFIO 2 - Física

Um espelho côncavo tem raio de curvatura igual a 24 cm. Um objeto de 4 cm de altura é colocado a 48 cm à frente desse espelho:

a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Que se pode dizer a respeito da natureza e tamanho dessa imagem?

DESAFIO 1 - Física

Uma partícula de massa 200 g realiza um MHS de amplitude A, em torno da posição de equilíbrio O. Considerando nula a energia potencial para a partícula em O, a elongação, para a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial vale?