21 de ago de 2009

Probabilidade com eventos independentes

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Por definição eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro, como exemplo tomemos o nascimento de um macho, para nascer uma fêmea ou outro macho não importa se nasceu macho ou fêmea no primeiro evento.
No problema acima temos bolas vermelhas e bolas azuis, o fato de sair vermelha no primeiro evento não impede que saia vermelha ou azul no segundo evento, logo dizemos que os dois eventos são independentes. Para eventos independentes é válida a seguinte fórmula P= p1Xp2. Portanto iremos primeiro calcular a probabilidade do primeiro evento, ou seja, sair bola vermelha na primeira retirada.
Temos 30 bolas ao todo e destas temos 10 vermelhas, logo a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha na primeira extração será:
P1=10/30
p1=1/3
Agora vamos calcular a probabilidade de sair bola azul na segunda extração, são 20 bolas azuis e 30 bolas no total:
p2=20/30
Finalmente vamos calcular a probabilidade dos dois eventos dada pela fórmula inicial:
P=p1Xp2
P=1/3 X 20/30
P=20/90
P=2/9

12 de ago de 2009

Fluxo Térmico

Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma vidro de área 1,5 m² e espessura 3.-³ m a temperatura externa é -5 ºC e a interna é mantida a 20 ºC , através da queima da carvão. qual a massa de carvão consumida no período de 12 horas para repor o calor perdido apenas pelas janelas?

Dados:
condutividade térmica do vidro= 0,72 Kcal/(h.m.ºC)
calor de combustão do carvão - 6.10³cal/g

Resolução:
Questão elementar envolvendo a fórmula Q/m = k.S.t.(T2-T1)/e.m
Primeiro colete os dados observando as unidades de medida.

Área S= 1,5 m²
Espessura e = 3.10-³ m
T2= 20° C
T1= -5°C
Tempo t = 12 h
k = 0,72 Kcal/(h.m.°C)=0,72.1000 cal/(h.m.°C)=720 cal/(h.m.°C)
Q/m = 6.10³ cal/g

A única unidade a ser mudada é a de Kcal para cal na grandeza física k, é só multiplicarmos por 1000 e eliminar o prefixo multiplicativo K.

Agora tudo o que temos a fazer é usar a fórmula Q/m=k.S.(T2-T1).t/e.m:

6.10³cal/g={720 cal/(h.m.°C).[1,5m²].[20°C-(-5°C)]}.12h /3.10-³m.[m]<--Massa m
6000=720.1,5.25.12/0,003m
6000=324000/0,003m
6000.0,003m=324000
18m=324000
m=324000/18
m=18000 g ou m=18000/1000 Kg ou m=18 Kg
Como a casa tem 5 janelas teremos que ter uma massa de carvão igual a cinco vezes o resultado encontrado pois a área é de 5 vezes 1,5 m², então a resposta final será:
M=5.18Kg
M=90 Kg

8 de ago de 2009

A FÍSICA E O MÉTODO EXPERIMENTAL

A Física é uma ciência que procura descrever os fenômenos da natureza e prever resultados em prol da humanidade. É por esta razão que chamamos a Física de ciência exata. Mas como prevemos resultados futuros? Simples, através do método científico que basicamente se dá através de observações e coleta de informações, a partir daí podemos analisar as respostas e procurar adequar a uma fórmula.
A grosso modo podemos dizer que existem duas espécies de físicos, o teórico e o experimental, o teórico é responsável por criar equações que expressem um determinado problema físico, ou seja, este se preocupa em harmonizar a Física com a Matemática, por outro lado o físico experimental é aquele que fará experiências e listará os resultados obtidos fornecendo assim informações preciosas ao ramo teórico.
Houve diversos físicos que dedicaram-se as duas áreas, tanto à teórica quanto à experimental.
Nem sempre é fácil expressar um fenômeno natural através de fórmulas pela simples razão de que há muitas variáveis envolvidas na situação e como consequência sempre haverá uma margem de erros nas medições, chamamos isto de grau de incerteza.
Posso citar como exemplo um corpo em queda livre sofrendo atração gravitacional, se considerarmos todas as influências que o corpo sofrerá em seu movimento o problema físico tornar-se-ia extremamente complexo então desconsideramos certas condições como a resistência do ar, o movimento de rotação terrestre, a atração gravitacional de outros corpos, etc...
Os fenômenos naturais são classificados em aleatórios e determinados, qual a diferença?
O fenômeno aleatório é aquele que não podemos prever futuros resultados mesmo coletando informações, um bom exemplo seria o lançamento de um dado, por mais que anotemos os resultados de cada lançamento não saberíamos prever com certeza eventos futuros.
Estes eventos estão ligados ao acaso daí provém o nome aleatório, incerto, os ramos da Matemática responsáveis por seu estudo são a Estatística e a Teoria das Probabilidades.
O evento determinado sob certas condições é aquele cuja resposta podemos obter com um certo grau de precisão como já afirmei antes desconsiderando certas influências.
Um exemplo seria a ebulição de uma determinada massa de água em uma chaleira, sabendo a potência térmica da fonte de calor e conhecendo o ponto de ebulição da água, a temperatura inicial, a massa, etc... poderíamos prever em quanto tempo a água transformar-se-ia em vapor.
A dificuldade maior de um físico ao formular a equação de um problema natural é harmonizar as constantes e variáveis.
Gostaria de que ficasse bem claro a vocês alunos a seguinte idéia sobre equações matemáticas, é fundamentalmente importante que saibam interpretar uma equação, vamos exemplificar inicialmente com a função horária das velocidades que descreve o movimento uniformemente variado.
V = Vo + a.t
Observem que em Matemática dizemos que a equação ou fórmula acima possui dois membros:
1º Membro=> V
2º Membro=> Vo+a.t
O primeiro membro é constituído de um só monômio ( Chamado também de termo algébrico) que é V ( Velocidade determinada em um instante t).
O segundo membro da equação possui dois monômios ( Termos) que são Vo e a.t onde:
O primeiro termo é a velocidade inicial do corpo móvel Vo.
O segundo termo é o produto entre a aceleração (a) e um instante qualquer (t).
Vamos agora dar um exemplo numérico ou seja com valores determinados para Vo e a.
Imaginem um móvel cuja velocidade inicial é 20 m/s e a aceleração seja 2m/s² ( Falarei em outro tópico sobre as unidades de medida em Física). Podemos prever qual sua velocidade em um instante qualquer pois conhecemos sua velocidade inicial, sua aceleração e possuímos a fórmula que prevê os resultados futuros.
Se quisermos saber qual a velocidade da partícula no instante t=3s só teríamos que substituir na fórmula.
V(t)=20+2t
V(3s)=20+2.3
V(3s)=20+6
V(3s)=26m/s

7 de ago de 2009

Probabilidades

As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que menos um marque um gol?
Resposta: 49/50

Resolução:

Podemos resolver de forma rápida se pensarmos da seguinte forma ( Usando o teorema da probabilidade total):
A SOMA de todas as probabilidades é igual a 1.
Queremos que ao menos um jogador marque um gol, logo teremos que subtrair da unidade as probabilidades de A, B e C não marcarem gols ou seja marcarem zero gols. Mas como faremos isto? Simples, subtraia as probabilidades individuais de marcarem gols, vamos ao cálculo.
Pamarcar+Panãomarcar=1
2/3+Pañm=1
Pañm=1-2/3
Pañm=1/3

Pbmarcar+Pbnãomarcar=1
4/5+Pbñm=1
Pbñm=1-4/5
Pbñm=1/5

Pcmarcar+Pcnãomarcar=1
7/10+Pcñm=1
Pcñm=1-7/10
Pcñm=3/10

Pa,b e c não marcarem=1/3.1/5.3/10=1/50 ( Aqui usamos outro teorema, o das multiplicações de eventos independentes, pois os eventos a não marcar, b não marcar e c não marcar são independentes entre si)

Agora façamos a soma:
Paomenos1gol+Pa,b e c não marcarem=1
Pam1g+1/50=1
Pam1g+1/50=1
Pam1g=1-1/50
Pam1g=(50-1)/50
Pam1g=49/50

Fluxo de calor

Um vidro plano, cujo coeficiente de condutibilidade térmica é igual a 0,00183 cal/ (s.cm.ºC), tem uma área de 1,000 cm² e espessura de 3,66 mm. sendo o fluxo de calor por condução através do vidro igual a 2,000 calorias por segundo, calcule a diferença de temperatura entre suas faces.

Resolução:

A expressão matemática para o fluxo de calor é dado por Q/t = k.A.(Text-Tint)/e, onde:

k=coeficiente de condutibilidade térmica do material=0,00183
(Text-Tint)= Diferença de temperatura entre as faces=x=????
Q/t = Quantidade de calor que atravessa a superfície na unidade de tempo=2000
A= Área da superfície=1000
e= Espessura da placa=3,66
Analisando as unidades verificamos que só precisaremos converter 3,66 mm para cm, só divida por 10
3,66 mm = 3,66/10 cm = 0,366 cm
Agora podemos substituir todos os dados:
Q/t=k.A.(Text-Tint)/e
2000=0,00183.1000.(Text-Tint)/0,366
2000=1,83(Text-Tint)/0,366
2000.0,366=1,83.(Text-Tint)
2.366=1,83(Text-Tint)
732=1,83(Text-Tint)
1,83.(Text-Tint)=732
(Text-Tint)=732/1,83
(Text-Tint)=73200/183
(Text-Tint)=400°C

Ótica Geométrica

Um Objeto é colocado a 10 cm de um espelho côncavo de distância focal igual a 20 Cm A imagem sera:
a) do tamanho do objeto,plano focal
B)real do mesmo tamanho do objeto
c)virtual,maior que objeto
D)virtual,que o objeto

Resolução:

Vamos retirar os dados da questão.
p=10 cm [Distância do objeto ao espelho]
f=20 cm [Distância focal do espelho positiva pois o espelho é côncavo]
p´=?
i=?
Iremos utilizar primeiro a equação dos pontos conjugados, também conhecida por equação de Gauss:
1/f = 1/p + 1/p´
1/20 = 1/10 + 1/p´
1/10 + 1/p´ = 1/20
1/p´=1/20-1/10
1/p´=1/20-2/20
1/p´=-1/20
p´= -20 cm
Como a imagem tem abscissa negativa concluímos que ela será virtual [Está dentro do espelho]
Para saber se é ampliada ou reduzida em relação ao objeto vc precisa usar a fórmula do aumento linear transversal:
A= -p´/p
A= -(-20cm)/10cm
A=20cm/10cm
A=2
Mas A=i/o, logo:
i/o=2
i=2.o
A fórmula acima nos diz que o tamanho da imagem i é duas vezes o tamanho do objeto o.

5 de ago de 2009

Eletrodinâmica

Considere uma lâmpada ligada à tomada elétrica de uma residência. Verifica-se que um trabalho de 44J é realizado sobre uma carga de 0,20C que passa, através da lâmpada, de um terminal a outro desta tomada.
a) Qual é a diferença de potencial entre os terminais da tomada?
b) Um aparelho é ligado a esta tomada durante um certo tempo, recebendo 1.100J de energia das cargas elétricas que passam através dele. Qual é o valor total destas cargas?

Resolução:

a) Use a seguinte fórmula: Trab=P.tempo, onde P é a potência elétrica.
Sabemos que P=U.i e ainda que i=q/tempo, substituiremos i na expressão P=U.i.
P=U.q/tempo
Agora joguemos P na expressão do trabalho:
Trab=(U.q/tempo).tempo
Simplificando o termo tempo teremos:
Trab=U.q
Agora é só jogar os valores:
44 J = U.0,2 C
44/0,2 = U
U = 44/0,2
U = 220 Volts

b) Como já sabemos a DDP fica mais fácil.
U = 220 Volts
Energia= 1100 J
q=????

Energia=U.q
1100=220.q
220q=1100
q=1100/220
q=11.100/11.20
q=100/20
q=5 C

Calorimetria

O Um forno de microondas fornece 100cal/s durante 50s para 200g de água, que está inicialmente a 20°C (c=1,0cal/g °C). Considerando que toda a energia fornecida pelo forno é usada para aquecimento da água, qual é a temperatura final da água?

Resolução:

Foram fornecidas as seguintes informações:
Potência térmica P= 100 cal/s
Tempo t = 50 s
Massa de água m = 200 g
Temperatura inicial da massa de água Ti= 20 °C
Calor específico da água c = 1 cal/g.°C

Primeiro calcule o calor recebido pela água, use a expressão Q= P.t:
Q=100cal/s . 50 s
Q= 5000 cal
Agora use a fórmula do calor sensível:
Q = m.c.(Tf-Ti)
5000 cal = 200 g.1 cal/g°C . (Tf - 20°C)
Por simplicidade ignore as unidades de medida:
5000 /200.1 = ( Tf - 20)
5000/200 = Tf - 20
50/2 = Tf - 20
25 = Tf - 20
Invertendo os dois membros sem trocar sinais:
Tf - 20 = 25
Tf = 25+20
Tf = 45°C

Física de partículas elementares

O elétronvolt é uma unidade de medida de energia aplicada a partículas elementares da matéria. A equivalência é 1 elétron volt = 1,60217646x10^-19 joules. Quando Ek é a energia cinética em eV e v é a velocidade em m/s, prove que a relação entre essas duas grandezas vale Ek=2,843x10^-12 v^2 para o elétron e Ek=5,228x10^-9 v^2 para o próton.

Resolução:
Para resolver esta vc precisa saber o valor tabelado da massa do elétron e da massa do próton.
mp=1,67.10^-27 kg
me=9,11.10^-31 kg
Vou considerar o caso em que as partículas não são relativísticas.
A energia cinética do próton seria E=1,67.10^-27.v²/2
E=0,835.10^-27.v² ( Isso em joules)
Façamos uma regra de três:
1eV ------ 1,60217646x10^-19 joules
Ep -------- 0,835x10^-27.v² joules

Ep/1eV = 0,835x10^-27.v²/1,60217646x10^-19
Ep/1eV = 0,521166064.10^-27/10^-19
Ep/1eV = 0,521166064.10^-27-(-19)
Ep/1eV = 0,521166064.10^-27+19
Ep/1eV = 0,521166064.10^-8
Ep/1eV = 5,21166064.10^-9
Ep= 5,21166064.10^-9 eV

O cálculo para o elétron é semelhante, somente use a massa do elétron.
1eV ------- 1,60217646x10^-19 joules
Ee --------- (9,11x10^-31.v²)/2

Ee/1eV = 4,555.10^-31/1,60217646x10^-19
Ee/1eV = 2,843007692.10^[-31-(-19)]
Ee/1eV = 2,843007692.10^-12
Ee = 2,843007692.10^-12 eV

ELETROSTÁTICA

Considerando um ponto do infinito como referencial, o potencial elétrico de uma esfera condutora no vácuo (k0=9.10^9 N.m²/C²) varia com a distância ao seu centro, segundo o gráfico abaixo.
A capacidade elétrica dessa esfera é 10 pF. Determine os valores de 'a' e 'b' mostrados no gráfico.

Resolução:
Extraindo os dois pontos do gráfico teremos:
V --- d
b --- a
60 -- 15

Substituindo na expressão matemática que relaciona o potencial elétrico V a distância d teremos:

b=Kq/a
e
60=Kq/15 ( Aqui descobriremos o valor da carga q)
60=9.10^9q/0,15
60.0,15=9.10^9q
9=9.10^9q
1/10^9=q
q=10^-9 C
Observe que o potencial V no intervalo de 0 até 'a' mantém-se constante, quer dizer que o raio da esfera é a.
Para uma esfera de raio a, teremos um potencial dado por V=Kq/a e sabemos ainda que C=q/V ou V=q/C logo:
q/C=Kq/a
a/C=K
a=CK
a=10.(10^-12).9.10^9
a=90.10^(-12+9)
a=90.10-³
a=0,09 m
Para encontrar b substitua a em b=Kq/a:
b=9.10^9.10^-9/0,09
b=9/0,09
b=100V

4 de ago de 2009

PG Infinita

Qual o valor de "a" na expressão : a/3 - 1/4 + a/9 - 1/8 + a/27 - 1/16 + a/81 - 1/32 + ... = 2 ?

Resolução:
Observe que o primeiro membro da equação pode ser organizado assim:
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)+(-1/4-1/8-1/16-1/32-....)=2
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)-(1/4+1/8+1/16+1/32+....)=2
Temos duas P.G. infinitas, tudo o que temos a fazer é achar a soma para cada uma delas.
Vamos usar a fórmula Sn= a1/(1-q) em cada uma das progressões entre parênteses.
Primeiro para a/3,a/9,a/27,a/81,.....:
a1=a/3
q=a2/a1 => q=(a/9)/(a/3) [Aqui inverteremos a fração de baixo e multiplicaremos pela de cima]
q=a/9 . 3/a
q=3a/9a
q=1/3
Pronto, temos a1 e q para a primeira soma entre parênteses.
S1ª=(a/3)/(1-1/3)
S1ª=(a/3)/(2/3)
S1ª=a/3.3/2
S1ª=3a/6
S1ª=a/2
Iremos agora fazer de modo semelhante com a segunda soma entre parênteses:
1/4,1/8,1/16,1/32,....
a1=1/4
q=a2/a1
q=(1/8)/(1/4)
q=1/8.4/1
q=1.4/8.1
q=4/8
q=1/2
Substituindo teremos:
S2ª=(1/4)/(1-1/2)
S2ª=(1/4)/(1/2)
S2ª=1/4.2/1
S2ª=1.2/4.1
S2ª=2/4
S2ª=1/2
Agora vamos pegar as duas somas e substituir na equação inicial:
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)-(1/4+1/8+1/16+1/32+....)=2
(a/2)-(1/2)=2
(a-1)/2=2
a-1=2.2
a-1=4
a=4+1
a=5