4 de ago de 2009

PG Infinita

Qual o valor de "a" na expressão : a/3 - 1/4 + a/9 - 1/8 + a/27 - 1/16 + a/81 - 1/32 + ... = 2 ?

Resolução:
Observe que o primeiro membro da equação pode ser organizado assim:
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)+(-1/4-1/8-1/16-1/32-....)=2
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)-(1/4+1/8+1/16+1/32+....)=2
Temos duas P.G. infinitas, tudo o que temos a fazer é achar a soma para cada uma delas.
Vamos usar a fórmula Sn= a1/(1-q) em cada uma das progressões entre parênteses.
Primeiro para a/3,a/9,a/27,a/81,.....:
a1=a/3
q=a2/a1 => q=(a/9)/(a/3) [Aqui inverteremos a fração de baixo e multiplicaremos pela de cima]
q=a/9 . 3/a
q=3a/9a
q=1/3
Pronto, temos a1 e q para a primeira soma entre parênteses.
S1ª=(a/3)/(1-1/3)
S1ª=(a/3)/(2/3)
S1ª=a/3.3/2
S1ª=3a/6
S1ª=a/2
Iremos agora fazer de modo semelhante com a segunda soma entre parênteses:
1/4,1/8,1/16,1/32,....
a1=1/4
q=a2/a1
q=(1/8)/(1/4)
q=1/8.4/1
q=1.4/8.1
q=4/8
q=1/2
Substituindo teremos:
S2ª=(1/4)/(1-1/2)
S2ª=(1/4)/(1/2)
S2ª=1/4.2/1
S2ª=1.2/4.1
S2ª=2/4
S2ª=1/2
Agora vamos pegar as duas somas e substituir na equação inicial:
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)-(1/4+1/8+1/16+1/32+....)=2
(a/2)-(1/2)=2
(a-1)/2=2
a-1=2.2
a-1=4
a=4+1
a=5