13 de out de 2009

Derivação

Um homem com 1,8m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão a 15m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9m do edifício?

Resolução:

Utilizando uma figura que não temos como expor aqui chegaremos à seguinte proporção:

15/S = (15-x)/1,8
15.1,8 =S.(15-x)
27 = 15S-Sx

Temos que efetivar dois passos:

1º) Achar o valor da sombra S relativa à posição x=9 m.

27 = 15S-S.9
27 = 15S-9S
27 = 6S
6S = 27
S = 27/6
S = 9/2 m

2º) Diferenciar a expressão 27 = 15S -Sx:

d(27)/dt = d(15S)/dt - Sdx/dt - xdS/dt
0 = 15dS/dt - (9/2).-1,5 - 9dS/dt
0 = 15dS/dt + 27/2 - 9dS/dt
0 = 6dS/dt + 27/2
6dS/dt = -27/2
dS/dt = - 27/12
dS/dt = - 9/4 m/s

Fácil não é?

3 de out de 2009

Retas tangentes

Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2x²-1.
Os resultados serão 2 equações!

Resolução:

O método de resolver este tipo de questão é encontrar a derivada da função dada e que no presente caso é y= 2x²-1.

y´= d(2x²-1)/dx
y´= 4xt xt= Abscissa de tangência.

Observe que este y´será numericamente igual ao valor do coeficiente angular das duas tangentes ao gráfico de y=2x²-1 no ponto de tangência.

Achemos as tangentes:

4xt = (yt - 13)/(xt-4)
yt=2xt²-1

Formamos um sistema de duas equações, tudo o que temos a fazer é resolver tal sistema:

4xt=(2xt²-1-13)/(xt-4)
4xt²-16xt=2xt²-14
2xt²-16xt+14=0
xt²-8xt+7=0
Resolvendo por Báskara encontramos xt´=1 e xt´´=7 e como consequência teremos duas tangentes que passam pelo ponto (4,13).

m1=4xt
m1=4.1
m1=4

4=(y-13)/(x-4)
4x-16=y-13
y-4x+3=0 ( 1ª reta tangente)

m2=4.7
m2=28

28=(y-13)/(x-4)
28x-112=y-13
y-28x+99=0 ( 2ª reta tangente)