18 de jan de 2014

   Progressões Geométricas 

Um carro cujo preço à vista e R$ 24 000,00 pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?


RESOLUÇÃO:
O plano de pagamento consiste em um sinal de X, na segunda parcela teremos 4000, a terceira não foi mencionada e a quarta vale 1000.
Por enquanto vamos desconsiderar se o sinal faz parte da PG ou não pois temos elementos suficientes para "montar" a PG, veja:
As cinco parcelas estão em Pg, logo teremos:
a1, 4000, a3, 1000 e a5.
Para encontrar a razão q da PG faremos o seguinte raciocínio:
a4 = a2.q² ( O termo a4 é igual ao a2 vezes o quadrado da razão q pois pulamos duas casas entre a2 e a4)
1000 = 4000.q²
q² = 1000/4000
q² =1/4
Extraindo a raiz quadrada teremos q= 1/2.
Para encontrar a1 faremos a2=a1.q, logo 4000=a1.1/2 então a1=8000.
a3=a2.q
a3=4000.1/2
a3=2000

a5=a4.q
a5=1000.1/2
a5=500

Organizando a PG teremos:
a1,a2,a3,a4, e a5
8000, 4000, 2000, 1000 e 500
Vamos somar a1 até a5:
8000 + 4000 + 2000 + 1000 + 500
15.500
O valor total é 24.000
A entrada foi de 24.000 - 15.500 = 8.500
A compra então foi feita assim:
Sinal de 8.500 e parcelas de 8.000, 4.000, 2.000, 1.000 e 500.

Probabilidade

Existem 4 bolas em uma caixa, uma de cada cor e um grupo de 10 pessoas, um de cada vez vai tirar uma bola e vai colocar novamente na caixa, qual a probabilidade de uma cor não ser tirada por nenhuma pessoa?
 
RESOLUÇÃO:
 
A probabilidade de uma dada cor é 1/4 e a de não retirar esta cor é 3/4, os eventos posteriores serão independentes e portanto a probabilidade de não retiramos uma determinada cor será dada pela multiplicação 3/4.3/4.3/4.3/4 = 81/256.
Vou mostrar através do princípio da indução finita esta conclusão. Suponha que vc possua 3 cores e 3 pessoas para retirar as bolas, veja como ficaria o espaço amostral:
1ªpessoa:
A, B, C
2ªpessoa:
A, B, C
3ªpessoa:
A, B, C
O total de possibilidades seria encontrado através das combinações:
AAA, AAB, AAC, ABA, ABB, ABC, ACA, ACB, ACC, BAA, BAB, BAC, BBA, BBB, BBC, BCA, BCB, BCC, CAA, CAB, CAC, CBA, CBB, CBC, CCA, CCB, CCC
O nosso espaço amostral terá 27 possibilidades!!!!
Suponhamos não tirar a cor A, conte os grupos que não tenham a cor A, 8 no caso, a probabilidade de não tirar a cor A será 8/27 que poderíamos encontrar fazendo o raciocínio que expliquei a probabilidade de não retirar A será 2/3 que multiplicaremos 2/3.2/3.2/3 = 8/27
 

Analise combinatória.

Uma secretaria dispoe de 8 pastas vermelhas e 6 pastas brancas. Quantos lotes distintos de 4 pastas poderão ser formados, se em cada lote deve ter, pelo menos, 2 pastas vermelhas?
a) 420
b) 580
c) 642
d) 826
e) 986
 
RESOLUÇÃO:
 
São 8 pastas vermelhas e 6 pastas brancas e vc tem a restrição de que deve haver pelo menos duas pastas vermelhas, isto é, não podemos ter só pastas brancas mas podemos ter só pastas vermelhas.
1ª Parcial:
Para 2 brancas teremos 2 vermelhas pois cada lote possui 4 pastas, teremos uma combinação ou arranjos de 8 vermelhas em grupos de 2 e 6 brancas em grupos de 2. Como saberemos se temos arranjos ou combinações? Para diferenciar arranjos de combinações teremos que pensar se interessa a ordem ou a natureza de cada elemento em nossos grupos. De antemão será:
X8,2.X6,2 onde X será a combinação ou arranjo dos elementos.
Vamos agora desvendar o mistério:
Considere uma particular disposição para as pastas vermelhas de 2 elementos somente:
O grupo VV é diferente de VV? Não, portanto interessa a natureza de cada elemento e teremos combinações.
C8,2.C6,2=8!/2!(8-2)! . 6!/2!(6-2)!= 8!/2!6! . 6!/2!4!= 8!/2!2!4! = 8.7.6.5.4!/2!2!4! = 2.7.6.5=420

2ª Parcial ( 3 pastas vermelhas e 1 branca):
C8,3.C6,1 = 8!/3!(8-3)!.6!/1!(6-1)!=8!/3!5!.6!/1!5!= 8.7.6/3.2.1 . 6= 8.7.6 = 42.8 = 336

3ª Parcial ( 4 pastas vermelhas e 0 brancas):
C8,4.C6,0 = 8!/4!(8-4)! . 6!/0!(6-0)!= 8!/4!4!.6!/6!=8.7.6.5.4!/4.3.2.1.4!=8.7.…

Para achar o total de combinações temos que somar as quantidades:
420+336+70=826
 
 
Analisando as afirmações abaixo, a alternativa correta é:

I. Todo A é B. Logo, todo B é A.
II. Todos os professores da escola são competentes. Marcos é um professor da escola. Logo, Marcos é competente .

a) Nenhum dos dois argumentos é válido.
b) Apenas I é um argumento válido.
c) Apenas II é um argumento válido.
d) I e II são argumentos válidos.
e) Inconclusivo.
RESPOSTA:
I Não necessariamente todo A ser B não implica em todo B ser A, exemplo, Todo cachorro é animal, mas nem todo animal é cachorro.

II Sim, em termos matemáticos seria uma estrutura lógica denominada silogismo com duas premissas e uma conclusão, veja abaixo:
Premissa 1 : Todos os professores da escola são competentes;
Premissa 2 : Marcos é um professor da escola;
Conclusão : Marcos é competente

Observe que no silogismo retiramos a 1ª parte de uma premissa e a 2ª parte da outra afim de chegar a uma conclusão.

Analise Combinatória

Sete amigos vão ao cinema e ocupam uma fileira que possui sete cadeiras. Dentre eles, Ari,Bia e Cid fazem questão de ocupar ou as posições extremas ou as posições centrais da fileira. Sendo N o número de formas diferentes de todos se acomodarem, o valor de N/2 é?


RESOLUÇÃO:
a_ _ b _ _ c
b_ _ a _ _ c
acb
bca
cba
cab
Teremos 3.2.1 = 6 formas para a,b e c porém temos que calcular as permutações dos restantes:
_ _ _ _
4.3.2.1=24

24.6=144=N
N/2=144/2=72
Análise Combinatória?
João entrou numa lanchonete para comprar cinco empadas. Sabendo-se que essa lanchonete vende empadas de frango, de queijo e de camarão, de quantas formas diferentes João pode escolher suas cinco empadas?

RESOLUÇÃO:

O raciocínio para este tipo de questão é assim:
Temos 3 "sabores" e 5 escolhas:
o o I o o I o ( 2F, 2Q e 1C)
o o o I o o I ( 3F, 2Q e 0C)
Observe que cada "o" representa um sabor e as barras separam sabores diferentes então faça a permutação entre as barras e os "o´s".
Trata-se de permutação com elementos repetidos.
Temos a repetição de 5 "o´s" e 2 "I".
P7,a,b= 7!/5!2!