26 de mai de 2009

MOVIMENTO RELATIVO

Num vagão ferroviário que se move com velocidade Vo = 3 m/s em relação aos trilhos estão dois meninos, A e B, que correm um em direção ao outro, cada um com velocidade V= 3 m/s em relação ao vagão. Ache as velocidades dos meninos A e B em relação aos trilhos.

Resolução:

Vvagão,trilhos + Vmeninos,vagão=Vtrilhos,meninos

Vvagão,trilhos= 3m/s
Vmenino a=+3m/s
Vmenino b=-3m/s

3+3=Vtrilhos,menino a
Vtrilhos,menino a=6m/s

3-3=Vtrilhos,menino b
Vtrilhos,menino b= 0

PROBABILIDADE

Um baralho padrão de 52 cartas é cortado em duas porções distintas, aqui denominadas A e B. Se uma carta for retirada ao acaso de A, a chance de ser uma carta vermelha é de 2:1. Se uma carta vermelha for agora transferida de B para A, as chances de retirar uma carta preta de B se tornam 2:1. A quantidade inicial de cartas em A e em B, respectivamente, é:

(A) 24, 28
(B) 25, 27
(C) 26, 26
(D) 27, 25
(E) 28, 24

Resolução:

Vamos fazer considerações sobre as cartas:
Há 26 cartas vermelhas e 26 pretas.
Va = nº de cartas vermelhas em A
Vb = nº de cartas vermelhas em B
Pa = nº de cartas pretas em A
Pb = nº de cartas pretas em B
Na partição inicial temos Va=2Pa.
Na partição modificada temos Pb=2(Vb-1)

(1)Pa+Pb=26
(2)Va+Vb=26
(3)Va=2Pa
(4)Pb=2Vb-2

Que maravilha, um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.
Pegue a (3) e substitua Va na (2):
Pa+Pb=26
2Pa+Vb=26
Pb=2Vb-2
Agora pegue a última e substitua na 1ª:
Pa+2Vb-2=26
2Pa+Vb=26
Reduzimos a 2 equações e 2 incógnitas.
Pa+2Vb=28
2Pa+Vb=26
Isole Pa na eq. de cima:
Pa=28-2Vb
Jogue na eq. de baixo:
2(28-2Vb)+Vb=26
56-4Vb+Vb=26
-3Vb=26-56
-3Vb=-30
3Vb=30
Vb=30/3
Vb=10
Agora é só substituir este valor nas equações, vamos indo em sentido oposto de baixo para cima:
Pa=28-2Vb
Pa=28-2.10
Pa=28-20
Pa=8

Pb=2Vb-2
Pb=2.10-2
Pb=20-2
Pb=18

Va=2Pa
Va=2.8
Va=16

As cartas em A são dadas pela soma:
Va+Pa=16+8
Va+Pa=24
As cartas em B são dadas pela soma:
Vb+Pb=10+18
Vb+Pb=28
Portanto a alternativa correta é a letra (a).

CINEMÁTICA VETORIAL

A velocidade v de uma partícula que se move no plano xy é dada por v=(6,0t-4,0t²) î + 8,0 ĵ com v em metros por segundo e t(>0)em segundos.(a)Qual é a aceleração quando t= 3,0s? (b) Quando (se ocorrer) a aceleração se anula? (c) Quando (se ocorrer) a velocidade se anula? (d) Quando (se ocorrer) o módulo da velocidade é igual a 10 m/s?

Resolução:

V=(6t-4t²)i + 8j

a)
Sabemos que a=dv/dt
a=d[(6t-4t²)i + 8j]/dt
a=(6-8t)i + 0j
a=(6-8t)i
Para t=3s:
a=(6-8.3)i
a=(6-24)i
a=-18i m/s²

b)
A expressão da aceleração vetorial é a=(6-8t)i.
O valor de a é zero quando:
a=0
0=(6-8t)i
6-8t=0
-8t=-6
t=-6/-8
t=0,75 s

c)
A expressão de V é dada por V=(6t-4t²)i + 8j, para sabermos se a velocidade se anula, basta jogarmos t=0,75s em V:
V=(6.0,75-4.0,75²)i + 8j
V=(4,5-2,25)i + 8j
V=2,25i + 8j
A velocidade NÃO se anula quando a=0.

d)
Para calcular o módulo de v, temos que pegar as componentes Vx e Vy:

|V|²=(Vx)² + (Vy)²
|V|²=(6t-4t²)² + 8²
Mas |V|=10m/s:
10²=8²+2²(3t-2t²)²
(100-64)/4 = (3t-2t²)²
36/4 = (3t-2t²)²
9=(3t-2t²)²
A partir daqui teremos duas equações:

3t-2t²= +V9
3t-2t²=3
e
3t-2t²=-V9
3t-2t²=-3

As equações 2t²-3t+3=0 e 2t²-3t-3=0 são independentes:






RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO MINISTÉRIO DA FAZENDA 2009 CONTINUAÇÃO

75-Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que dois oráculos nunca erravam e um sempre errava.
Consultados os oráculos, dois falaram que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei:
a) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha.
b) certamente ganharia a batalha.
c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha.
d) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha.
e) certamente perderia a batalha.

Resolução:

76-Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?
a) 50%
b) 23%
c) 27%
d) 25%
e) 20%

Resolução:
P6=20%=20%/100%=0,2
P5=x
P4=x
P3=x
P2=x
P1=x
Vamos calcular x usando a soma de todas as probabilidades (Teorema da Probabilidade Total).
P1+P2+P3+P4+P5+P6=1
x+x+x+x+x+0,2=1
5x+0,2=1
5x=1-0,2
5x=0,8
x=0,8/5
x=1,6/10
x=0,16
Vamos calcular a probabilidade de sair número par:
P2+P4+P6=Ppar
Ppar=x+x+0,2
Ppar=2x+0,2
Porém x=0,16:
Ppar=2.0,16+0,2
Ppar=0,32+0,20
Ppar=0,52
Para que saia par duas vezes:
Ppar.Ppar
0,52.0,52
0,2704
Multiplicando por 100%:
0,2704.100%
27,04%

Alternativa (c)

77-A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.
b) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.
c) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
d) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

78-Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados
em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 25%
d) 57%
e) 50%

79-Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o
determinante da matriz fica:
a) Multiplicado por -2/3.
b) Multiplicado por -1.
c) Multiplicado por 2/3.
d) Multiplicado por 16/81.
e) Multiplicado por -16/81.

Resolução:

A mais fácil de todas, é só fazer analogia com uma matriz de ordem n igual a 2:
|3 5|
|2 6|

O determinante será (3.6)-(2.5)=18-10=8.
Aplicando a multiplicação de 2 pela 1ª linha:
|6 10|
|2 6|
Dividindo os elementos da 2ª linha por -3:
|6____10|
|-2/3 -2|
Calculando o determinante:
(6.-2)-(10.-2/3)
-12-(-20/3)
-12+20/3
(-36+20)/3
-16/3
Vamos agora "ver" a relação entre 8 e -16/3:
Determ1=8
Determ2=-16/3
Dividindo membro à membro:
Det1/Det2=8/(-16/3)
Det1/Det2= -24/16
Det1/Det2= - 3/2
Det2= -2/3Det1
O determinante Det1 fica multiplicado por -2/3.

Alternativa (a)

80-Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 7%
b) 35%
c) 17%
d) 58%
e) 42%

Resolução:

Para um dado honesto P1=P2=P3=P4=P5=P6=1/6
Jogando três vezes a probabilidade de sair um será:
P=Cn,p.P1^p.Pñsair^(n-p)
P=[3!/2!(3-2)!].(1/6)¹(5/6)²
P=[3.2!/2!.1!].(1/6).(25/36)
P=[3/1!].25/216
P=75/216
Multiplicando por 100%:
P=7500%/216
P=34,722222222222222222...%
Aproximadamente 35%

Alternativa (b)

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO MINISTÉRIO DA FAZENDA 2009

71-Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 20
b) 16
c) 15
d) 30
e) 24

Resolução:
5otrabalhadores----n-----8h/d-----24dias
40trabalhadores---0,8n--10h/d----x

Quanto MAIS trabalhadores MENOS tempo.
Quanto MAIS rendimento MENOS tempo.
Quanto MAIS horas por dia MENOS tempo.

x/24 = 8/10 . n/0,8n . 50/40
x/24 = 400n/32on
x/24 = 40/32
x=24.40/32
x=3.40/4
x=3.10
x=30 dias

Alernativa (d)

72-Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 16 horas

b) 24 horas
c) 20 horas
d) 12 horas
e) 30 horas

Resolução:
Para este tipo de problema a solução mais rápida é somar os inversos.
1/Ttotal = 1/24 + 1/48
1/Ttotal = 2/48 + 1/48
1/Ttotal = 3/48
Ttotal = 48/3
Ttotal = 16 horas

Alternativa (a).

73-Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que:
a) Marta ficou em casa.
b) Martinho foi ao shopping.
c) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao
shopping.
d) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em
casa.
e) Márcio e Martinho foram ao shopping.


Resolução:
Neste tipo venha caminhando ao contrário
Mário foi ao shopping-->Martinho NÃO foi ao shopping-->Marta NÃO ficou em casa-->Márcio NÃO foi ao shopping.

Alternativa (d)

74-X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim:
a) Se X ≥ 4, então Y <> 4.
c) Se Y > 7, então X ≥ 4.
d) Se Y <>

Y≤7 e X >4