Uma corda de violão tem 0,6 m de comprimento. Determine os três maiores comprimentos de ondas estacionárias que se pode estabelecer nessa corda.
Resolução:
A fórmula para este problema é que o número de ventres (n) multiplicado pela metade do comprimento de onda ʎ nos dá o comprimento L da corda de violão assim teremos:
n.ʎ/2 = L
ʎ = 2L/n
Foram pedidos os 3 maiores comprimentos de onda portanto como n e ʎ são INVERSAMENTE proporcionais quanto menor for o valor de n maior será o valor de ʎ uma vez que L é constante.
Teremos que encontra os três primeiros números inteiros não nulos e não negativos ora na matemática é o conjunto Naturais não negativos e não-nulos.
{ 1,2,3} são os três menores valores .
Então:
Para n=1 ʎ=2.0,6m/1
ʎ = 1,2 m
Para n=2 ʎ=2.0,6m/2
ʎ = 0,6 m
Para n=3 ʎ=2.0,6m/3
ʎ = 0,4 m
3 de set. de 2011
Combinatória
Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 4845
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 4845
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
Análise Combinatória
Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 3230
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 3230
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
2 de set. de 2011
Problema de Análise Combinatória
De quantas maneiras podemos escolher 3 numeros distintos entre os números ímpares de zero a dez?
E qual a diferença entre permutação, arranjo e combinação?
Resolução:
A diferença entre arranjos, permutações e combinações depende da ordem ou do número de elementos com os quais vc irá trabalhar, irei explicar através de exemplos.
Permutações:
Imagine que há três pessoas na fila de um banco A , B, e C.
Podem ser colocadas das formas:
A B C
A C B
B A C
B C A
C B A
C A B
Observe que são 6 possibilidades, certo?
A fórmula é dada utilizando-se o Princípio Fundamental da Contagem:
3.2.1 = 6
ou em termos matemáticos:
P3 - Chamamos permutação de três elementos.
Arranjos:
Imagine agora as mesmas pessoas A, B e C porém uma não pode ser atendida.
Neste caso podemos formar vários grupos de 2 elementos retirados de 3 e como a ordem na fila diferencia um grupo de outro temos o tipo de agrupamento denominado Arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2. ( Dizemos Arranjos de n elementos tomados p a p)
A B
B A
A C
C A
B C
C B
A fórmula será An,p = n! / (n-p)! no nosso exemplo A3,2 = 3!/(3-2)! --- A3,2 = 3!/1!---- A3,2 = 6
Combinações:
Neste agrupamento a ordem é desconsiderada, ou seja, o grupo AB=BA, AC=CA e BC=CB, então teremos só 3 grupos.
AC
AB
BC
A fórmula será Cn,p = n! / p!(n-p)!
No nosso exemplo:
C3,2 = 3! / 2!(3-2)!
C3,2 = 3!/2!.1!
C3,2 = 3
Passando agora ao seu exercício, pense bem, NÃO iremos utilizar permutação pois não entram TODOS os elementos e sim 3 em cada grupo, basta saber agora se interessa a ordem ou não.
No caso não interessa a ordem então teremos Combinações de números ímpares de 0 a 10 ( 1,3,5,7,9) veja que nós temos 5 elementos que serão tomados 3 a 3.
Logo:
C5,3= 5! / 3!(5-3)!
C5,3= 5! / 3!.2!
C5,3= 5.4.3! / 3!.2!
C5,3= 20/2
C5,3= 10
Portanto podemos escolher de dez formas diferentes se não importa a ordem.
E qual a diferença entre permutação, arranjo e combinação?
Resolução:
A diferença entre arranjos, permutações e combinações depende da ordem ou do número de elementos com os quais vc irá trabalhar, irei explicar através de exemplos.
Permutações:
Imagine que há três pessoas na fila de um banco A , B, e C.
Podem ser colocadas das formas:
A B C
A C B
B A C
B C A
C B A
C A B
Observe que são 6 possibilidades, certo?
A fórmula é dada utilizando-se o Princípio Fundamental da Contagem:
3.2.1 = 6
ou em termos matemáticos:
P3 - Chamamos permutação de três elementos.
Arranjos:
Imagine agora as mesmas pessoas A, B e C porém uma não pode ser atendida.
Neste caso podemos formar vários grupos de 2 elementos retirados de 3 e como a ordem na fila diferencia um grupo de outro temos o tipo de agrupamento denominado Arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2. ( Dizemos Arranjos de n elementos tomados p a p)
A B
B A
A C
C A
B C
C B
A fórmula será An,p = n! / (n-p)! no nosso exemplo A3,2 = 3!/(3-2)! --- A3,2 = 3!/1!---- A3,2 = 6
Combinações:
Neste agrupamento a ordem é desconsiderada, ou seja, o grupo AB=BA, AC=CA e BC=CB, então teremos só 3 grupos.
AC
AB
BC
A fórmula será Cn,p = n! / p!(n-p)!
No nosso exemplo:
C3,2 = 3! / 2!(3-2)!
C3,2 = 3!/2!.1!
C3,2 = 3
Passando agora ao seu exercício, pense bem, NÃO iremos utilizar permutação pois não entram TODOS os elementos e sim 3 em cada grupo, basta saber agora se interessa a ordem ou não.
No caso não interessa a ordem então teremos Combinações de números ímpares de 0 a 10 ( 1,3,5,7,9) veja que nós temos 5 elementos que serão tomados 3 a 3.
Logo:
C5,3= 5! / 3!(5-3)!
C5,3= 5! / 3!.2!
C5,3= 5.4.3! / 3!.2!
C5,3= 20/2
C5,3= 10
Portanto podemos escolher de dez formas diferentes se não importa a ordem.
1 de set. de 2011
Uma questão sobre atrito estático.
Se o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro e a estrada é dado por "x", e a aceleração da gravidade representada por g, a aceleração máxima que o carro pode ter será calculada por: (considere a estrada sem inclinação)
a)x/g
b)x.g
c)g/x
d)x².g
e)x²/g
Resolução:
A aceleração será máxima quando tivermos força de atrito estática máxima ou seja Fat=u.Normal
A Normal no caso será o peso do veículo Normal=m.g
Então teremos m.a=u.Normal
m.a=u.m.g
Simplificando m:
a=u.g
Mas u=x, logo:
amáx=x.g
a)x/g
b)x.g
c)g/x
d)x².g
e)x²/g
Resolução:
A aceleração será máxima quando tivermos força de atrito estática máxima ou seja Fat=u.Normal
A Normal no caso será o peso do veículo Normal=m.g
Então teremos m.a=u.Normal
m.a=u.m.g
Simplificando m:
a=u.g
Mas u=x, logo:
amáx=x.g
30 de ago. de 2011
Determinar o comprimento da mediana AM do triangulo cujos vértices são A(2,3) B( 4,-2) e C(0,-6)
Resolução:
Como queremos a distância entre o vértice A e o ponto central de CB só precisamos calcular o ponto central de CB:
xMbc = (0+4)/2
xMbc = 2
e
yMbc = (-2-6)/2
yMbc = -4
Agora calcule a distância entre os pontos A e o ponto central de BC.
d = Raiz quadrada de [ (2-2)²+(3-(-4))²]
d = R Q de (0+49)
d = 7
Resolução:
Como queremos a distância entre o vértice A e o ponto central de CB só precisamos calcular o ponto central de CB:
xMbc = (0+4)/2
xMbc = 2
e
yMbc = (-2-6)/2
yMbc = -4
Agora calcule a distância entre os pontos A e o ponto central de BC.
d = Raiz quadrada de [ (2-2)²+(3-(-4))²]
d = R Q de (0+49)
d = 7
27 de ago. de 2011
São dadas.duas.retas.paralelas.Marcam-se.10.pontos..distintos.sobre.uma.reta.e.8.pontos.distintos.sobre.a.outra.Quantos.triângulos.podemos.formar.ligando.3.quaisquer.desses.18.pontos?
Resolução:
Primeiro.vamos.imaginar.uma.das.duas.retas.qualquer.
Se.pegarmos.a.que.possui.10.pontos.e.cada.ponto.for.um.dos.vértices.dos.triângulos,então.os.pontos.da.outra.reta.serão.os.vértices.restantes.que.serão.COMBINADOS.assim.teremos:
C8,2=8!/2!.(8-2)!
C8,2=8!/(2!.6!)
C8,2=8.7.6!/2!.6!
C8,2=8.7/2!
C8,2=4.7
C8,2=28
Como.temos.10.pontos.na.outra.reta.multiplicamos.o.valor.acima.por10.esperando.o.outro.resultado.
Reta.1=10x28
Reta.1=280
A
nalogamente.para.a.reta.restante.teremos.:
8xC10,2=360
S
omamos.então.os.dois.resultados.obtendo.a.resposta.final.
280+360=640
14 de jun. de 2010
COLISÕES
(UFPB) Uma bola de massa igual a 0,5 Kg e velocidade de 72 Km/h se choca frontal e elasticamente contra uma parede rígida. O módulo da variação do momento linear ( Quantidade de movimento) da bola é de:
a) 36 Kg.Km/h
b) 10 Kg.m/s
c) 72 Kg.m/s
d) 20 Kg.m/s
Resolução:
Vamos considerar a QM (Quantidade de movimento) da bola antes do choque:
v=72Km/h
m=0,5Kg
Portanto a quantidade de movimento da bola antes da colisão é:
Qbola=+72.0,5
Qtotal=36Kg.Km/h
Como a colisão é elástica temos que e=1 logo a quantidade de movimento da bola será a mesma porém com sentido oposto.
Q'bola=-72.0,5
Q'bola=-36Kg.Km/h
Para calcularmos a VARIAÇÃO da QM basta fazer:
Variação= Qfinal-Qinicial
Variação=-36-(+36)
Variação=-36-36
Variação=-72Kg.Km/h
Converta agora de Km/h para m/s, basta dividir por 3,6:
Variação= -72/3,6 Kg.m/s
Variação= -20Kg.m/s
Alternativa (d).
a) 36 Kg.Km/h
b) 10 Kg.m/s
c) 72 Kg.m/s
d) 20 Kg.m/s
Resolução:
Vamos considerar a QM (Quantidade de movimento) da bola antes do choque:
v=72Km/h
m=0,5Kg
Portanto a quantidade de movimento da bola antes da colisão é:
Qbola=+72.0,5
Qtotal=36Kg.Km/h
Como a colisão é elástica temos que e=1 logo a quantidade de movimento da bola será a mesma porém com sentido oposto.
Q'bola=-72.0,5
Q'bola=-36Kg.Km/h
Para calcularmos a VARIAÇÃO da QM basta fazer:
Variação= Qfinal-Qinicial
Variação=-36-(+36)
Variação=-36-36
Variação=-72Kg.Km/h
Converta agora de Km/h para m/s, basta dividir por 3,6:
Variação= -72/3,6 Kg.m/s
Variação= -20Kg.m/s
Alternativa (d).
13 de out. de 2009
Derivação
Um homem com 1,8m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão a 15m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9m do edifício?
Resolução:
Utilizando uma figura que não temos como expor aqui chegaremos à seguinte proporção:
15/S = (15-x)/1,8
15.1,8 =S.(15-x)
27 = 15S-Sx
Temos que efetivar dois passos:
1º) Achar o valor da sombra S relativa à posição x=9 m.
27 = 15S-S.9
27 = 15S-9S
27 = 6S
6S = 27
S = 27/6
S = 9/2 m
2º) Diferenciar a expressão 27 = 15S -Sx:
d(27)/dt = d(15S)/dt - Sdx/dt - xdS/dt
0 = 15dS/dt - (9/2).-1,5 - 9dS/dt
0 = 15dS/dt + 27/2 - 9dS/dt
0 = 6dS/dt + 27/2
6dS/dt = -27/2
dS/dt = - 27/12
dS/dt = - 9/4 m/s
Fácil não é?
Resolução:
Utilizando uma figura que não temos como expor aqui chegaremos à seguinte proporção:
15/S = (15-x)/1,8
15.1,8 =S.(15-x)
27 = 15S-Sx
Temos que efetivar dois passos:
1º) Achar o valor da sombra S relativa à posição x=9 m.
27 = 15S-S.9
27 = 15S-9S
27 = 6S
6S = 27
S = 27/6
S = 9/2 m
2º) Diferenciar a expressão 27 = 15S -Sx:
d(27)/dt = d(15S)/dt - Sdx/dt - xdS/dt
0 = 15dS/dt - (9/2).-1,5 - 9dS/dt
0 = 15dS/dt + 27/2 - 9dS/dt
0 = 6dS/dt + 27/2
6dS/dt = -27/2
dS/dt = - 27/12
dS/dt = - 9/4 m/s
Fácil não é?
3 de out. de 2009
Retas tangentes
Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2x²-1.
Os resultados serão 2 equações!
Resolução:
O método de resolver este tipo de questão é encontrar a derivada da função dada e que no presente caso é y= 2x²-1.
y´= d(2x²-1)/dx
y´= 4xt xt= Abscissa de tangência.
Observe que este y´será numericamente igual ao valor do coeficiente angular das duas tangentes ao gráfico de y=2x²-1 no ponto de tangência.
Achemos as tangentes:
4xt = (yt - 13)/(xt-4)
yt=2xt²-1
Formamos um sistema de duas equações, tudo o que temos a fazer é resolver tal sistema:
4xt=(2xt²-1-13)/(xt-4)
4xt²-16xt=2xt²-14
2xt²-16xt+14=0
xt²-8xt+7=0
Resolvendo por Báskara encontramos xt´=1 e xt´´=7 e como consequência teremos duas tangentes que passam pelo ponto (4,13).
m1=4xt
m1=4.1
m1=4
4=(y-13)/(x-4)
4x-16=y-13
y-4x+3=0 ( 1ª reta tangente)
m2=4.7
m2=28
28=(y-13)/(x-4)
28x-112=y-13
y-28x+99=0 ( 2ª reta tangente)
Os resultados serão 2 equações!
Resolução:
O método de resolver este tipo de questão é encontrar a derivada da função dada e que no presente caso é y= 2x²-1.
y´= d(2x²-1)/dx
y´= 4xt xt= Abscissa de tangência.
Observe que este y´será numericamente igual ao valor do coeficiente angular das duas tangentes ao gráfico de y=2x²-1 no ponto de tangência.
Achemos as tangentes:
4xt = (yt - 13)/(xt-4)
yt=2xt²-1
Formamos um sistema de duas equações, tudo o que temos a fazer é resolver tal sistema:
4xt=(2xt²-1-13)/(xt-4)
4xt²-16xt=2xt²-14
2xt²-16xt+14=0
xt²-8xt+7=0
Resolvendo por Báskara encontramos xt´=1 e xt´´=7 e como consequência teremos duas tangentes que passam pelo ponto (4,13).
m1=4xt
m1=4.1
m1=4
4=(y-13)/(x-4)
4x-16=y-13
y-4x+3=0 ( 1ª reta tangente)
m2=4.7
m2=28
28=(y-13)/(x-4)
28x-112=y-13
y-28x+99=0 ( 2ª reta tangente)
15 de set. de 2009
Análise Combinatória
Se eu tenho um Motel com 6 portas.
De quantas maneiras eu posso deixar meu Motel aberto?
RESOLUÇÃO:
Vejamos, designaremos as portas de A, B, C, D, E e F.
Para a porta A existem duas possibilidades aberta ou fechada.
Para todas as outras também.
Vc só precisa usar o PFC.
2X2X2X2X2X2=64 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
64-1=63 formas de o motel estar aberto.
Poderíamos utilizar o princípio da indução finita para provar a validade do raciocínio exposto acima, pense em 3 portas A, B e C.
a f f
a a f
a a a
a f a
f a f
f a a
f f f
f f a
2X2X2=8 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
Observe que há só uma forma de que o motel esteja fechado que é f f f, logo subtraímos 1 de 8 para que ele fique aberto.
8-1=7
OBS: Questão retirada de uma comunidade e que foi postada por um membro chamado Daniel, achei interessante e postei para vcs verem esta resolução.
Portanto os créditos da questão vão para o Daniel.
De quantas maneiras eu posso deixar meu Motel aberto?
RESOLUÇÃO:
Vejamos, designaremos as portas de A, B, C, D, E e F.
Para a porta A existem duas possibilidades aberta ou fechada.
Para todas as outras também.
Vc só precisa usar o PFC.
2X2X2X2X2X2=64 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
64-1=63 formas de o motel estar aberto.
Poderíamos utilizar o princípio da indução finita para provar a validade do raciocínio exposto acima, pense em 3 portas A, B e C.
a f f
a a f
a a a
a f a
f a f
f a a
f f f
f f a
2X2X2=8 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
Observe que há só uma forma de que o motel esteja fechado que é f f f, logo subtraímos 1 de 8 para que ele fique aberto.
8-1=7
OBS: Questão retirada de uma comunidade e que foi postada por um membro chamado Daniel, achei interessante e postei para vcs verem esta resolução.
Portanto os créditos da questão vão para o Daniel.
14 de set. de 2009
Polinômios
Sem efetuar a divisão, determinar a e b de forma que o polinômio f=(x+2)³+(x-1)³+3ax+b seja divisível por g=(x-2)².
Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]
Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b
g=x²-4x+4
Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)
Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:
c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d
Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d
d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d
Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11
a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37
Portanto a=-17 e b=37
Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]
Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b
g=x²-4x+4
Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)
Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:
c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d
Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d
d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d
Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11
a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37
Portanto a=-17 e b=37
8 de set. de 2009
Funções de 1º grau
Seja a função f, de R em R, dada por f(x)= Kx + t, em que k e t são constantes reais. Se os pontos (-1,3) e (0,-1) pertencem ao grafico f, então:
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
d) f(x) < 0 se x = -2
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Resolução:
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
Primeiro substitua os valores de x e y pertencentes aos dois pares ordenados (-1,3) e ( 0,-1).
3=k.(-1)+t
e
-1=k.0+t
Teremos um sistema de duas equações, precisaremos descobrir os valores de k e t.
3=-k+t
-1=t
Sabendo o valor de t na segunda equação jogue na primeira:
3=-k-1
Invertendo os membros:
-k-1=3
k+1=-3
k=-3-1
k=-4
Portanto a função é definida por f(x)=-4x-1.
Para saber se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente vc só precisa saber se o número que acompanha o x ( Variável independente) é negativo ou positivo, vamos tomar como exemplo uma função da forma f(x)=ax+b, observe a regra:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Como na função dada a=-4, teremos que a função será sempre decrescente para todo x pertencente ao conjunto dos números reais, ok? Portanto a assertiva A está INCORRETA.
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
Para conhecermos a raiz de uma equação de 1º grau temos que fazer y=0, como nossa função é expressa por y=-4x-1, é só substituirmos y por 0 para achar a raiz x.
0=-4x-1
4x=-1
x=-1/4
Como 3/4 é diferente de -1/4 concluímos que a assertiva B está INCORRETA.
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
Para saber se um dado par ordenado pertence ao gráfico de uma função precisamos substituir x ou y e encontrar o valor correto para a variável restante:
Se começarmos com x=-10:
y=-4x-1
y=-4.(-10)-1
y=+40-1
y=+39 ( Errado pois o valor de y deveria ser 41 para que a alternativa estivesse certa)
Se usarmos y=41:
y=-4x-1
41=-4x-1
4x=-1-41
4x=-42
x=-42/4 ( Errado pois o valor de x deveria ser -10 para que a alternativa estivesse certa)
Portanto a assertiva C está INCORRETA.
d) f(x) < 0 se x = -2
Aqui temos uma inequação de 1º grau, vamos substituir a expressão matemática da função f(x):
-4x-1<0
-4x<+1
Aqui precisamos tomar cuidado redobrado, a regra é que SEMPRE que multiplicarmos os membros de uma inequação por -1 temos que inverter o sinal da desigualdade:
(-1).-4x>-1.(+1)
+4x>-1
x>-1/4
Como -2<-1/4 concluímos que f(x)>0 para x=-2 logo a assertiva D está INCORRETA.
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Uma regra que sempre ensino a meus alunos é que estudem a vizinhança de pontos em torno da raiz da função que gera a inequação.
f(x)=-4x-1
Como vimos a raiz é -1/4
Neste caso nem precisaremos utilizar a raiz.
Substitua x= 1/2 em f(x) e observe o sinal resultante.
f(x)=-4x-1
f(1/2)=-4.1/2-1
f(1/2)=-4/2-1
f(1/2)=-2-1
f(1/2)=-3
A proposição afirmava que f(x) deveria ser igual ou MENOR que zero, o valor y=-3 é MENOR que zero logo a assertiva está CORRETA.
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
d) f(x) < 0 se x = -2
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Resolução:
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
Primeiro substitua os valores de x e y pertencentes aos dois pares ordenados (-1,3) e ( 0,-1).
3=k.(-1)+t
e
-1=k.0+t
Teremos um sistema de duas equações, precisaremos descobrir os valores de k e t.
3=-k+t
-1=t
Sabendo o valor de t na segunda equação jogue na primeira:
3=-k-1
Invertendo os membros:
-k-1=3
k+1=-3
k=-3-1
k=-4
Portanto a função é definida por f(x)=-4x-1.
Para saber se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente vc só precisa saber se o número que acompanha o x ( Variável independente) é negativo ou positivo, vamos tomar como exemplo uma função da forma f(x)=ax+b, observe a regra:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Como na função dada a=-4, teremos que a função será sempre decrescente para todo x pertencente ao conjunto dos números reais, ok? Portanto a assertiva A está INCORRETA.
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
Para conhecermos a raiz de uma equação de 1º grau temos que fazer y=0, como nossa função é expressa por y=-4x-1, é só substituirmos y por 0 para achar a raiz x.
0=-4x-1
4x=-1
x=-1/4
Como 3/4 é diferente de -1/4 concluímos que a assertiva B está INCORRETA.
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
Para saber se um dado par ordenado pertence ao gráfico de uma função precisamos substituir x ou y e encontrar o valor correto para a variável restante:
Se começarmos com x=-10:
y=-4x-1
y=-4.(-10)-1
y=+40-1
y=+39 ( Errado pois o valor de y deveria ser 41 para que a alternativa estivesse certa)
Se usarmos y=41:
y=-4x-1
41=-4x-1
4x=-1-41
4x=-42
x=-42/4 ( Errado pois o valor de x deveria ser -10 para que a alternativa estivesse certa)
Portanto a assertiva C está INCORRETA.
d) f(x) < 0 se x = -2
Aqui temos uma inequação de 1º grau, vamos substituir a expressão matemática da função f(x):
-4x-1<0
-4x<+1
Aqui precisamos tomar cuidado redobrado, a regra é que SEMPRE que multiplicarmos os membros de uma inequação por -1 temos que inverter o sinal da desigualdade:
(-1).-4x>-1.(+1)
+4x>-1
x>-1/4
Como -2<-1/4 concluímos que f(x)>0 para x=-2 logo a assertiva D está INCORRETA.
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Uma regra que sempre ensino a meus alunos é que estudem a vizinhança de pontos em torno da raiz da função que gera a inequação.
f(x)=-4x-1
Como vimos a raiz é -1/4
Neste caso nem precisaremos utilizar a raiz.
Substitua x= 1/2 em f(x) e observe o sinal resultante.
f(x)=-4x-1
f(1/2)=-4.1/2-1
f(1/2)=-4/2-1
f(1/2)=-2-1
f(1/2)=-3
A proposição afirmava que f(x) deveria ser igual ou MENOR que zero, o valor y=-3 é MENOR que zero logo a assertiva está CORRETA.
21 de ago. de 2009
Probabilidade com eventos independentes
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Por definição eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro, como exemplo tomemos o nascimento de um macho, para nascer uma fêmea ou outro macho não importa se nasceu macho ou fêmea no primeiro evento.
No problema acima temos bolas vermelhas e bolas azuis, o fato de sair vermelha no primeiro evento não impede que saia vermelha ou azul no segundo evento, logo dizemos que os dois eventos são independentes. Para eventos independentes é válida a seguinte fórmula P= p1Xp2. Portanto iremos primeiro calcular a probabilidade do primeiro evento, ou seja, sair bola vermelha na primeira retirada.
Temos 30 bolas ao todo e destas temos 10 vermelhas, logo a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha na primeira extração será:
P1=10/30
p1=1/3
Agora vamos calcular a probabilidade de sair bola azul na segunda extração, são 20 bolas azuis e 30 bolas no total:
p2=20/30
Finalmente vamos calcular a probabilidade dos dois eventos dada pela fórmula inicial:
P=p1Xp2
P=1/3 X 20/30
P=20/90
P=2/9
Resolução:
Por definição eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro, como exemplo tomemos o nascimento de um macho, para nascer uma fêmea ou outro macho não importa se nasceu macho ou fêmea no primeiro evento.
No problema acima temos bolas vermelhas e bolas azuis, o fato de sair vermelha no primeiro evento não impede que saia vermelha ou azul no segundo evento, logo dizemos que os dois eventos são independentes. Para eventos independentes é válida a seguinte fórmula P= p1Xp2. Portanto iremos primeiro calcular a probabilidade do primeiro evento, ou seja, sair bola vermelha na primeira retirada.
Temos 30 bolas ao todo e destas temos 10 vermelhas, logo a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha na primeira extração será:
P1=10/30
p1=1/3
Agora vamos calcular a probabilidade de sair bola azul na segunda extração, são 20 bolas azuis e 30 bolas no total:
p2=20/30
Finalmente vamos calcular a probabilidade dos dois eventos dada pela fórmula inicial:
P=p1Xp2
P=1/3 X 20/30
P=20/90
P=2/9
12 de ago. de 2009
Fluxo Térmico
Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma vidro de área 1,5 m² e espessura 3.-³ m a temperatura externa é -5 ºC e a interna é mantida a 20 ºC , através da queima da carvão. qual a massa de carvão consumida no período de 12 horas para repor o calor perdido apenas pelas janelas?
Dados:
condutividade térmica do vidro= 0,72 Kcal/(h.m.ºC)
calor de combustão do carvão - 6.10³cal/g
Resolução:
Questão elementar envolvendo a fórmula Q/m = k.S.t.(T2-T1)/e.m
Primeiro colete os dados observando as unidades de medida.
Área S= 1,5 m²
Espessura e = 3.10-³ m
T2= 20° C
T1= -5°C
Tempo t = 12 h
k = 0,72 Kcal/(h.m.°C)=0,72.1000 cal/(h.m.°C)=720 cal/(h.m.°C)
Q/m = 6.10³ cal/g
A única unidade a ser mudada é a de Kcal para cal na grandeza física k, é só multiplicarmos por 1000 e eliminar o prefixo multiplicativo K.
Agora tudo o que temos a fazer é usar a fórmula Q/m=k.S.(T2-T1).t/e.m:
M=5.18Kg
M=90 Kg
Dados:
condutividade térmica do vidro= 0,72 Kcal/(h.m.ºC)
calor de combustão do carvão - 6.10³cal/g
Resolução:
Questão elementar envolvendo a fórmula Q/m = k.S.t.(T2-T1)/e.m
Primeiro colete os dados observando as unidades de medida.
Área S= 1,5 m²
Espessura e = 3.10-³ m
T2= 20° C
T1= -5°C
Tempo t = 12 h
k = 0,72 Kcal/(h.m.°C)=0,72.1000 cal/(h.m.°C)=720 cal/(h.m.°C)
Q/m = 6.10³ cal/g
A única unidade a ser mudada é a de Kcal para cal na grandeza física k, é só multiplicarmos por 1000 e eliminar o prefixo multiplicativo K.
Agora tudo o que temos a fazer é usar a fórmula Q/m=k.S.(T2-T1).t/e.m:
6.10³cal/g={720 cal/(h.m.°C).[1,5m²].[20°C-(-5°C)]}.12h /3.10-³m.[m]<--Massa m
6000=720.1,5.25.12/0,003m
6000=324000/0,003m
6000.0,003m=324000
18m=324000
m=324000/18
m=18000 g ou m=18000/1000 Kg ou m=18 Kg
Como a casa tem 5 janelas teremos que ter uma massa de carvão igual a cinco vezes o resultado encontrado pois a área é de 5 vezes 1,5 m², então a resposta final será:6000=720.1,5.25.12/0,003m
6000=324000/0,003m
6000.0,003m=324000
18m=324000
m=324000/18
m=18000 g ou m=18000/1000 Kg ou m=18 Kg
M=5.18Kg
M=90 Kg
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