19 de mai de 2009

P.A, e P.G.

Os números x,y e z formam uma P.A. crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8 unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma P.G. Então o valor de z é?

Resolução:

PA:
a1=x
a2=y
a3=z
x+y+z=48

PG:
a1=x
a2=y
a3=z+8

Na PA teremos:
y-x=z-y
Na PG teremos:
y/x=(z+8)/y
y²=x(z+8)

Temos então um sistema com 3 equações:
x+y+z=48
2y=z+x
y²=x(z+8)
Como queremos z, isolaremos x na 1ª eq. e substituiremos nas outrs duas equações:
x=48-y-z

2y=z+(48-y-z)
y²=(48-y-z).(z+8)

Isolaremos agora o y em 2y=z+(48-y-z):
2y=z+48-y-z
2y+y=z-z+48
3y=0+48
3y=48
y=16 ( Descobrimos o valor de y)
Vamos agora jogar y=16 na última equação:
y²=(48-y-z).(z+8)
16²=(48-16-z).(z+8)
256=(32-z).(z+8)
256=32z+256-z²-8z
z²-24z=0
Resolvendo por Báskara encontramos:
z´=0 e z´´=24

x=48-y-z
x=48-16-0
x=32
ou
x=48-16-24
x=8
A PA pode ser:
32,16,0
ou
8,16,24
Como foi dito que a PA é crescente então:
8,16,24
Portanto z=24.

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