7 de ago de 2009

Probabilidades

As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que menos um marque um gol?
Resposta: 49/50

Resolução:

Podemos resolver de forma rápida se pensarmos da seguinte forma ( Usando o teorema da probabilidade total):
A SOMA de todas as probabilidades é igual a 1.
Queremos que ao menos um jogador marque um gol, logo teremos que subtrair da unidade as probabilidades de A, B e C não marcarem gols ou seja marcarem zero gols. Mas como faremos isto? Simples, subtraia as probabilidades individuais de marcarem gols, vamos ao cálculo.
Pamarcar+Panãomarcar=1
2/3+Pañm=1
Pañm=1-2/3
Pañm=1/3

Pbmarcar+Pbnãomarcar=1
4/5+Pbñm=1
Pbñm=1-4/5
Pbñm=1/5

Pcmarcar+Pcnãomarcar=1
7/10+Pcñm=1
Pcñm=1-7/10
Pcñm=3/10

Pa,b e c não marcarem=1/3.1/5.3/10=1/50 ( Aqui usamos outro teorema, o das multiplicações de eventos independentes, pois os eventos a não marcar, b não marcar e c não marcar são independentes entre si)

Agora façamos a soma:
Paomenos1gol+Pa,b e c não marcarem=1
Pam1g+1/50=1
Pam1g+1/50=1
Pam1g=1-1/50
Pam1g=(50-1)/50
Pam1g=49/50

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