18 de abr de 2009

Eletrostática

Um sistema de condutores perfeitos consta de duas esferas de raios R1 = a e R2 = 2a, interligados por um fio condutor de capacidade nula. Quando o sistema é eletrizado com carga positiva Q, após o equilíbrio eletrostático ser alcançado, o condutor de raio R1 apresenta densidade superficial de carga d1, e o raio R2 apresenta densidade superficial de carga d2.

Nessa situação, a relação d1/d2 vale:

a) zero
b) 0,5
c) 1,0
d) 1,5
e) 2,0

Resolução:
Vamos partir de um resultado exposto no tocante aos potenciais eletrostáticos nas duas esferas segundo Halliday/Resnick 4ª Edição Vol.3 1984 Pág.79:
É válida a seguinte relação:

V1 = V2 ( Os potenciais eletrostáticos são iguais)
Q1/4piEo.R1 = Q2/4piEoR2 (1)
Q1/R1 = Q2/R2
Q1/Q2 = R1/R2
Agora vamos definir densidade superficial de cargas:

d1 = Q1/S1
d1 = Q1/4piR1² (2)
Analogamente para a carga 2:
d2 = Q2/4piR2² (3)

De (1) teremos:
Q1/R1 = Q2/R2
Dividindo (2) por (3):
d1/d2 = (Q1/4piR1²) / (Q2/4piR2²)
d1/d2 = Q1/4piR1² . 4piR2²/Q2
d1/d2 = (Q1.R2²)/(Q2.R1²)
d1/d2 = Q1/Q2 . (R2/R1)²
Jogando a quantidade Q1/Q2 encontrada em (1):
d1/d2 = R1/R2 . R2²/R1²
d1/d2 = (R1.R2²)/(R2.R1²)
d1/d2 = R2/R1
Como temos R2=2R1:
d1/d2 = 2R1/R1
d1/d2 = 2
Resposta: Alternativa (e).

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