11 de mai de 2009

Equações

Resolva a equação 1/(1+x) + 1/(1+x)² = 1.

Solução:

Note que no primeiro membro temos dois termos que são: 2/(1+x) e 1/(1+x)².
No segundo membro só há um termo: 1.
Os denominadores do 1º membro são (1+x) e (1+x)².
Vamos tirar o MMC, é só multiplicar em cima e embaixo de 1/(1+x) o denominador (1+x)² e em cima e embaixo de 1/(1+x)² o denominador (1+x).

2.(1+x)²/(1+x).(1+x)² + 1.(1+x)/(1+x)².(1+x) = 1
2(1+2x+x²)+(1+x)=1.(1+x).(1+x)²
2+4x+2x²+1+x=(1+x).(1+2x+x²)
2x²+5x+3=1+2x+x²+x+2x²+x³
2x²+5x+3=1+3x+3x²+x³
x³+3x²+3x+1-2x²-5x-3=0
x³+x²-2x-2=0
Olhando para a equação vemos que uma das raízes é x= -1, pois este valor anula a expressão:
(-1)³+(-1)²-2(-1)-2=0
-1+1+2-2=0
0+0=0
0=0
Tudo o que temos a fazer agora é dividir x³+x²-2x-2 por [x-(-1)] para reduzir em um grau a equação:
x³+x²-2x-2 |x+1
_________x²-2
-x³-x²
---------------
-2x-2
+2x+2
---------------
0

O polinômio procurado é x²-2, logo:
x²-2=0
x=+ou-Raiz quadrada de 2

Portanto teríamos 3 valores possíveis -1, V2, V-2, porém x=-1 anula o denominador (1+x) logo não pode ser solução.
S={V2 , V-2}

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