COLISÕES

(UFPB) Uma bola de massa igual a 0,5 Kg e velocidade de 72 Km/h se choca frontal e elasticamente contra uma parede rígida. O módulo da variação do momento linear ( Quantidade de movimento) da bola é de:
a) 36 Kg.Km/h
b) 10 Kg.m/s
c) 72 Kg.m/s
d) 20 Kg.m/s

Resolução:

Vamos considerar a QM (Quantidade de movimento) da bola antes do choque:

v=72Km/h
m=0,5Kg

Portanto a quantidade de movimento da bola antes da colisão é:

Qbola=+72.0,5
Qtotal=36Kg.Km/h

Como a colisão é elástica temos que e=1 logo a quantidade de movimento da bola será a mesma porém com sentido oposto.

Q'bola=-72.0,5
Q'bola=-36Kg.Km/h

Para calcularmos a VARIAÇÃO da QM basta fazer:

Variação= Qfinal-Qinicial
Variação=-36-(+36)
Variação=-36-36
Variação=-72Kg.Km/h

Converta agora de Km/h para m/s, basta dividir por 3,6:

Variação= -72/3,6 Kg.m/s
Variação= -20Kg.m/s

Alternativa (d).

DESAFIO 8 FÍSICA Nível Superior RESOLUÇÃO

Vamos utilizar integração dupla através da fórmula:
dm/dx.dy = M/a.b ( Onde M é a massa da placa).

I = S r² dm
I = SS (x²+y²) . (M/a.b) . dxdy
a/2 b/2
I = M/ab S dy S (x²+y²) dx
-a/2 -b/2

Resolvendo a integral em x:
b/2
I = M/ab S (x²+y²)
-b/2

continua...

Desafio 7 Matemática Resolução

4x<x²<5x²-4

Para resolver uma inequação simultânea temos que decompor os membros:

4x<x² e x²<5x²-4

Resolveremos de forma independente:

4x<x²

x²-4x>0

Vamos achar os zeros ( Raízes) da equação:

x²-4x=0

Usando Báskara ou qualquer outro método teremos:

x` = 0 e x" = 4

Lembremos que queremos valores maiores que zero:

++++++++0---------------------4++++++++

Então os valores que satisfazem a inequação são:

x<0 e x>4

Vamos partir para a segunda inequação:

x²<5x²-4

5x²-x²-4>0

4x²-4>0

Achando as raízes:

x`= 1 e x" = -1

+++++++ -1--------------- 1+++++++

Logo os valores de x que satisfazem a inequação estão nos intervalos:

x>1 e x<-1

Agora vamos mesclar os dois resultados e a solução será o conjunto intersecção:

 

________________ 0_ _ _ _ _ _4_________

____________ -1_ _ _ _ 1__________________

O conjunto intersecção será:

x<-1 ou x>4

Desafio 7 Física Resolução

Primeiro vamos coletar os dados da questão:

R = 41,8 Ω

I = 20 Amperes

Θi = 100ºC

T = 9 min

Lv = 540 Cal/g

De posse dos dados iremos calcular a potência dissipada pelo resistor:

P = Ri²

P = 41,8 * ( 20)²

P = 41,8*400

P = 4180*4

P = 16.720 Watts

Agora faremos o cálculo da energia dissipada:

E = P * T

E = 16.720 Watts * 9 min

Convertendo 9 min para segundos, teremos:

E = 16.720 Watts * 9 * 60 segundos

E = 16.720 * 540 Joules

E = 9.028.800 Joules

Precisaremos lembrar que 1 Caloria vale aproximadamente 4,18 Joules, logo converteremos a energia acima usando regra de três:

1 Cal → 4,18 J

X → 9.028.800 J

X = 9.028.800/4,18 Cal

X = 2.160.000 Cal

E finalmente estamos aptos a calcular a massa de água que irá evaporar:

Q = m * Lv

2.160.000 = m * 540

m = 2.160.000/540

m = 4.000 g

DESAFIO 6 FÍSICA Resolução

Neste problema vamos misturar dinâmica com fluidos, então podemos chamá-lo de problema de Hidrodinâmica básica, vamos primeiro considerar que forças atuam no balão, as forças estão esquematizadas na figura abaixo:

Da figura podemos "tirar" duas forças que atuam no balão, o peso do balão com direção vertical e sentido para baixo e o empuxo que o fluido atmosférico (Ar) exerce no balão (Vertical e para cima), como foi dito no enunciado o balão terá que subir, então utilizaremos a segunda lei de Newton:
Fr = m.a
E - P = m.a
Observação: O aluno pode pensar que seria fácil achar o peso do balão, temos que lembrar que "balão" é constituído de gás e parte sólida (Carga, lastro, etc...)
E é o empuxo que o ar aplica ao balão e, segundo Arquimedes de Siracusa, é igual ao peso do volume de fluido deslocado, ou seja:
V=100m³
dar = 1,29 Kg/m³
d = m/V
m = d.V
m = 1,29.100Kg
m = 129 Kg
E = m.g
E = 129.10
E = 1290 N
Então, para o balão:
1290-P = m.a
1290-P = P/g . a
1290-P = 2P/10
2P/10 + P = 1290
12P/10 = 1290
P=12900/12
P= 1075 N
P= 1,075 x 10³ N

DESAFIO 5 FÍSICA Resolução

Trata-se de um problema simples envolvendo o conceito de referencial e velocidades relativas.
O observador está no segundo trem logo do ponto de vista dele seu trem não está em movimento, para móveis cujas velocidades têm sentidos opostos usamos a adição vetorial, no caso seria adição vetorial unidimensional, para resumir, lembremos que sempre que dois móveis estiverem em aproximação com velocidades de sentidos opostos para saber a velocidade relativa de aproximação somamos as velocidades:

Vrel = V1 + V2
Vrel = 10 m/s + 10 m/s
Vrel = 20 m/s

Para o passageiro esta velocidade será do trem em que ele não se encontra, foi dado o tempo de cruzamento entre os trens que é de 5 segundos, portanto agora é só jogarmos os valores acima na equação básica do M.U.:

S = V x T

Onde S será o comprimento do primeiro trem:

L = 20 m/s x 5s
L = 100 m

DESAFIO 6 MATEMÁTICA RESOLUÇÃO

Vamos analisar bem a palavra "TERRA", ela é constituída de 3 consoantes e duas vogais, observe que uma consoante se duplica, pois bem, se nos fosse pedida a permutação sem condições, era só aplicarmos a fórmula das permutações com "n" elementos com "k" elementos repetidos "m" vezes:

Pn,m = n!/m!

O que não vem a ser o caso em questão, pelo menos "a priori", temos que considerar primeiro as vogais A e E como um só elemento e utilizar então a retrocitada fórmula:

Logo teremos 4 elementos, sendo que um está repetido(RR):

P4,2 = 4!/2!
P4,2 = 4*3*2!/2!
P4,2 = 4*3
P4,2 = 12

Ainda não é a resposta final, teremos agora que considerar as posições que A e E ocupam dentro de seu grupo, existem duas possibilidades AE e EA, então:

X= 2*12
X=24 Anagramas

DESAFIO 4 MATEMÁTICA RESOLUÇÃO

Para resolver este tipo de questão, o aluno deverá ter em mente que é sempre bom esquematizar a situação em um diagrama de árvore de possibilidades, vamos tentar:

Deu para entender? Deu, então expliquem-me porque não entendi nada.
Brincadeira, vamos agora lembrar da pergunta, qual a probabilidade condicional de que Marina não tenha escrito dado que Verônica não recebeu a carta? Para iniciarmos, vou explicar o que representa cada ramificação no desenho acima, comecemos da esquerda para a direita e de cima para baixo:

8/10 = Probabilidade de que Marina tenha escrito a carta.
2/10 = Probabilidade de que Marina estava com preguiça ou TPM e não escreveu a carta.
1/10 = Probabilidade de que o carteiro perca a carta ( O que acontece sempre em casa).
9/10 = Probabilidade de que o carteiro não perca a carta ( Milagre).
1 = Probabilidade de que V não receba, pois não foi escrita, viram de onde vem (2/10).
1 = Probabilidade de que V não receba, razão o correio perdeu a carta( Vejam ramificação).
9/10 = Probabilidade de que o carteiro entregue.
1/10 = Probabilidade de que o carteiro não entregue.
1 = Probabilidade de que V receba a carta de amor( Peraí, mas são duas mulheres).
1 = Probabilidade de que V não receba a carta, razão: Carteiro não entregou.

É nessas horas que eu acho a Matemática a ciência mais linda de todas, basta pensar um pouquinho e esquematizar com perfeição qualquer situação e chegamos a uma solução, não se trata de só memorizar é preciso imaginar uma rede de possíveis caminhos até chegarmos ao resultado exato.
Do exposto acima, observem que há quatro "finais" possíveis, que são:

1 = Não recebe pois apesar de Marina ter escrito o correio perdeu a carta.
1 = Recebe, pois Marina escreveu, o correio não perdeu, o carteiro entregou.
1 = Não recebe, Marina escreveu, o correio não perdeu, porém o carteiro não entregou.
1 = Não recebe, Marina não escreveu.

Agora, é só multiplicarmos as linhas até o final, sabendo que Verônica não recebeu a carta:

P1 = 8/10 * 1/10 * 1 ( 1º Final) ou P1 = 8/100
P2 = 8/10 * 9/10 * 1/10 ( 3º Final) ou P2 = 72/1000
P3 = 2/10 * 1 ( 4º Final) ou P3 = 2/10

Somaremos todas as partes acima, lembrando sempre de que a soma representa a probabilidade de que V não receba a carta:

Pt = P1 + P2 + P3
Pt = 8/100 + 72/1000 + 2/10
Pt = 352/1000

Como foi pedida a probabilidade condicional, lembremos a fórmula:

P( Não escreva/Não recebeu) = P ( ñ escreva Intersecção ñ receba) /P ( ñ receba)
P( Não escreva/Não recebeu) = (2/10) / (352/1000)
P( Não escreva/Não recebeu) = 2/10 * 1000/352
P( Não escreva/Não recebeu) = 200/352
P( Não escreva/Não recebeu) = 25/44

DESAFIO 4 FÍSICA RESOLUÇÃO

Vamos iniciar com uma descrição física sobre o evento, pelo princípio fundamental das trocas de calor uma quantidade de matéria que possui maior temperatura passa expontâneamente calor para uma outra quantidade de matéria que possui menor temperatura. Do enunciado da questão podemos observar que a água está a uma temperatura maior e o gelo, obviamente, está a uma temperatura menor, concluímos portanto que o fluxo de calor tem o sentido água para o gelo, ou seja, a água cede calor para o gelo, o que temos a fazer em seguida é quantificar para sabermos qual a quantidade máxima que o gelo precisa para derreter.
Agora listaremos as equações que iremos utilizar nos cálculos:

Qa = ma x ca x Delta T
Onde: ma = massa de água
ca = Calor sensível da água
Delta T = Variação da temperatura da água

A água sai de uma temperatura inicial de 20º C e vai até a temperatura final de 0º C aqui ela começaria a se solidificar e se transformaria em gelo.
Portanto para a água, teríamos:
Qa = 200g x 1 cal/g ºC x ( Tfinal - Tinicial)
Qa = 200 x 1 x ( 0 - 20)
Qa = 200 x 1 x (-20)
Qa = 200 x ( -20)
Qa = - 4.000 Cal
Podemos observar que a quantidade de água do problema cederá no máximo 4.000 cal, a partir daí a água diminuiria mais sua temperatura e se converteria em gelo.
Vamos agora ver que quantidade de calor a amostra de gelo deve receber para derreter, aí teremos contato com outra fórmula que é a fórmula do calor latente, que implica em mudança de estado físico sem alteração na temperatura:
Ql = mg x Lf
Onde:
mg = massa do gelo
Lf = Calor latente

Para o gelo:
mg = 800 g
Lf = 80 Cal/g

Logo, para derreter o gelo precisaria de uma quantidade de calor dada por:

Ql = 800g x 80 Cal/g
Ql = 64.000 Cal

Como o gelo precisa de 64.000 Cal para derreter completamente e a água poderá ceder no máximo 4.000 Cal, deduzimos que o gelo não derreterá todo, podemos calcular qual a massa de gelo que irá derreter, é só jogarmos 4.000 Cal ( Calor que a água passa, no máximo) na fórmula do calor de fusão do gelo:

4.000 = mg` x 80
mg` = 4.000/80
mg` = 50 g

a) Para responder ao item (a) é só lembrar que foi exposto acima que teremos água e gelo não derretido, como a temperatura máxima do gelo é de 0ºC, podemos concluir que a mistura terá água e gelo a 0ºC.

b) A massa final do líquido será dada pela massa inicial de água mais a massa de gelo que derreteu:
Mt = ma + mg`
Mt = 200 g + 50 g
Mt = 250 g

DESAFIO 2 - Matemática RESOLUÇÃO

Trata-se de uma questão simples de P.G. infinita. Portanto tudo o que temos a fazer é separar os termos algébricos dos termos numéricos puros:
(a/3 + a/9 + a/27 + ...) + (- 1/4 - 1/8 - 1/16 - ...) = 2

Observem que a primeira soma entre parenteses é a soma de uma P.G. infinita, onde:

a1 = a/3
q = 1/3
Logo usaremos a fórmula S = a1 / (1-q):
S = a/3 dividido por ( 1-1/3)
S = a/3 dividido por 2/3
S = a/2

Para a segunda parcela, colocaremos em evidência o sinal negativo:

a/2 - ( + 1/4 + 1/8 + 1/16 - ...) = 2

O termo entre parenteses também é uma P.G., onde:

a1 = 1/4
q = 1/2

Logo, utilizaremos a fórmula da soma da P.G. infinita:

S = 1/4 dividido por ( 1 - 1/2)
S = 1/4 dividido por 1/2
S = 1/2

Pronto é só colocarmos as somas obtidas, não esquecendo o sinal negativo:

a/2 - 1/2 = 2
(a - 1) / 2 = 2
a - 1 = 4
a = 4 + 1
a = 5

DESAFIO 3 - Matemática RESOLUÇÃO

É só calcularmos as probabilidades para a urna I e para a urna II:
Para a urna I:
Pv = probabilidade de sair bola vermelha
Pv = 2/5

Pa = probabilidade de sair bola amarela
Pa = 3/5

Para a urna II:
Pv´= probabilidade de sair bola vermelha
Pv´= 4/11

Pa´= probabilidade de sair bola amarela
Pa´= 5/11

Pb´= probabilidade de sair bola branca
Pb´= 2/11

a) há duas possibilidades para a urna II:
1ª Que a bola tirada da urna I seja vermelha, neste caso a probabilidade de tirarmos a segunda bola vermelha será P = 2/5 * 5/12.
2ª Que a bola tirada da urna II não seja vermelha, então a probabilidade de ser vermelha será P = 3/5 * 4/12.

Temos então que somar as duas possibilidades:
Pt = 2/5*5/12 + 3/5*4/12
Pt = 10/60 + 12/60
Pt = 22/60
Pt = 11/30

b)aplicando o mesmo raciocínio para a bola amarela teremos:
1ª P = 2/5*5/12
2ª P = 3/5*6/12

Somando:

Ptotal = 2/5*5/12 + 3/5*6/12
Pt = 10/60 + 18/60
Pt = 28/60
Pt = 14/30
Pt = 7/15

c) Tentem fazer a última, a resposta é 1/6.

DESAFIO 2 - Física RESOLUÇÃO

Para resolver esta questão primeiramente nos lembremos de que para espelhos esféricos côncavos, vale a seguinte regra:

f>0 e R>0 (Traduzindo: foco e Raio de curvatura positivos)

Também precisamos ter memorizado:

f= R/2

1/f = 1/p + 1/p´ ( Equação dos pontos conjugados ou equação de Gauss)

A = - p´/p= i/o
Onde:
A = Aumento linear transversal
p = Distância do objeto ao espelho
p´=Distância da imagem ao espelho
o = Tamanho do objeto ( Altura do objeto)
i = Tamanho da imagem ( Altura da imagem)

a) Retirando os dados da questão:

R = +24 cm
o = 4 cm
p = +48 cm ( Positivo porque o objeto é real ou seja fora do espelho)

Primeiro vamos achar o foco do espelho, é muito fácil:
f = R/2
f = +24/2
f = +12 cm

Portanto como possuímos f e p, temos condições de calcular o item (a) através da equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p´ ( lembrem-se de que é uma soma de inversos, logo usaremos o artifício postado em truques matemáticos neste site ou calcula-se através de M.M.C)

1/12 = 1/48 + 1/p´

Invertendo os mebros da equação:

1/48 + 1/p´ = 1/12

Isolando o termo 1/p´:

1/p´= 1/12 - 1/48
1/p´= 4/48 - 1/48
1/p´= 3/48
1*48 = 3*p´
3p´= 48
p´=48/3
p´= 16 cm ( Observem que p´ou seja a distância da imagem ao espelho deu um valor positivo, quer dizer que fisicamente a imagem é real pois está fora do espelho)

Temos então a primeira resposta.

b) Para caracterizar a imagem temos que dizer se ela é real ou virtual, direita ou invertida, reduzida ou ampliada.
Possuímos a primeira informação, a imagem é real, agora como saberemos se ela é direita ou invertida, reduzida ou ampliada?
Simples, para o primeiro caso, ou seja direita ou invertida é só olharmos para a expressão:
A = -p´/p

Temos duas situações, a saber, se A>0 a imagem é direita e do contrário se A<0 a imagem será invertida.

A = - ( + 16)/+48
A = - 1/3 ( Sinal negativo quer dizer imagem invertida)

Finalmente para sabermos se ela é reduzida ou ampliada, é só olharmos para o numerador e denominador:

A Numerador = 1 Denominador = 3, como i está no numerador e o está no denominador, proporcionalmente i será menor do que o, ou seja a imagem é menor do que o objeto, portanto imagem reduzida.

DESAFIO 1 - Física RESOLUÇÃO

Resolução:

Iremos utilizar o princípio da conservação da energia.

-A _______O___x____+A

No ponto extremo do movimento ( Ponto A) o corpo só possui energia na forma potencial, uma vez que a elongação é máxima e a velocidade é nula pois se trata da inversão do movimento.
Teremos então Ea=KA
Em um ponto de elongação x qualquer a expressão da energia do sistema será dada por:
E = Kx²/2 + mv²/2
Como a energia se mantém constante em sistemas onde não há forças dissipativas, teremos:
Ea = E
Portanto:
KA²/2 = Kx²/2 + mv²/2 ( 1)

A energia cinética no ponto x terá de ser o dobro da energia potencial, isso equivale a fazer:

mv²/2 = 2 Kx²/2

Agora é só substituir 2 Kx na expressão ( 1), encontrando:

KA²/2 = Kx²/2 + 2 Kx²/2

Então:

KA²/2 = 3 Kx²/2

Simplificando teremos:

A² = 3x²

x² = A²/3

Resolução de Problemas

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