Combinatória
Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 4845
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
3 de set. de 2011
Análise Combinatória
Vamos resolver mais uma questão de Análise Combinatória.
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 3230
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?
Resolução:
Lembram-se da explicação da postagem anterior? Sobre diferenças entre Permutações, Arranjos e Combinações? Vamos utilizá-la aqui.
Observem que há grupos de 3 físicos escolhidos dentre 30 pessoas e grupos de 4 matemáticos pegos do espaço de 20.
Se não vamos pegar todos os elementos então não se trata de PERMUTAÇÕES portanto somente pode ser combinações ou arranjos. Para chegar a uma resposta vamos pensar: Importa se nós escolhermos um elemento A ou B antes? O grupo AB não é o mesmo que BA? Se a resposta for que não importa temos Combinações em caso contrário Arranjos. Já pensaram? Pois bem NÃO IMPORTA a ordem logo vamos utilizar a fórmula das Combinações.
A fórmula é esta Cn,p , porém precisamos lembrar que teremos DOIS grupos, um de Físicos e outro de Matemáticos, logo:
Para os físicos:
C30.3 ( n=30 e p=3)
Para os matemáticos:
C20,4 ( n=20 e p=4)
Fazendo os cálculos teremos:
C30,3 = 30!/3!(30-3)!
C30,3 = 30!/3!27!
C30,3 = 30.29.28/3.2.1
C30,3 = 10.29.14 = 4060
C20,4 = 20!/4!(20-4)!
C20.4 = 20!/4!(16)!
C20,4 = 20.19.18.17/4.3.2.1
C20,4 = 5.19.3.17 = 190.17 = 3230
Para finalizarmos é só multiplicar as duas quantidades:
4060x4845
19670700
2 de set. de 2011
Problema de Análise Combinatória
De quantas maneiras podemos escolher 3 numeros distintos entre os números ímpares de zero a dez?
E qual a diferença entre permutação, arranjo e combinação?
Resolução:
A diferença entre arranjos, permutações e combinações depende da ordem ou do número de elementos com os quais vc irá trabalhar, irei explicar através de exemplos.
Permutações:
Imagine que há três pessoas na fila de um banco A , B, e C.
Podem ser colocadas das formas:
A B C
A C B
B A C
B C A
C B A
C A B
Observe que são 6 possibilidades, certo?
A fórmula é dada utilizando-se o Princípio Fundamental da Contagem:
3.2.1 = 6
ou em termos matemáticos:
P3 - Chamamos permutação de três elementos.
Arranjos:
Imagine agora as mesmas pessoas A, B e C porém uma não pode ser atendida.
Neste caso podemos formar vários grupos de 2 elementos retirados de 3 e como a ordem na fila diferencia um grupo de outro temos o tipo de agrupamento denominado Arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2. ( Dizemos Arranjos de n elementos tomados p a p)
A B
B A
A C
C A
B C
C B
A fórmula será An,p = n! / (n-p)! no nosso exemplo A3,2 = 3!/(3-2)! --- A3,2 = 3!/1!---- A3,2 = 6
Combinações:
Neste agrupamento a ordem é desconsiderada, ou seja, o grupo AB=BA, AC=CA e BC=CB, então teremos só 3 grupos.
AC
AB
BC
A fórmula será Cn,p = n! / p!(n-p)!
No nosso exemplo:
C3,2 = 3! / 2!(3-2)!
C3,2 = 3!/2!.1!
C3,2 = 3
Passando agora ao seu exercício, pense bem, NÃO iremos utilizar permutação pois não entram TODOS os elementos e sim 3 em cada grupo, basta saber agora se interessa a ordem ou não.
No caso não interessa a ordem então teremos Combinações de números ímpares de 0 a 10 ( 1,3,5,7,9) veja que nós temos 5 elementos que serão tomados 3 a 3.
Logo:
C5,3= 5! / 3!(5-3)!
C5,3= 5! / 3!.2!
C5,3= 5.4.3! / 3!.2!
C5,3= 20/2
C5,3= 10
Portanto podemos escolher de dez formas diferentes se não importa a ordem.
E qual a diferença entre permutação, arranjo e combinação?
Resolução:
A diferença entre arranjos, permutações e combinações depende da ordem ou do número de elementos com os quais vc irá trabalhar, irei explicar através de exemplos.
Permutações:
Imagine que há três pessoas na fila de um banco A , B, e C.
Podem ser colocadas das formas:
A B C
A C B
B A C
B C A
C B A
C A B
Observe que são 6 possibilidades, certo?
A fórmula é dada utilizando-se o Princípio Fundamental da Contagem:
3.2.1 = 6
ou em termos matemáticos:
P3 - Chamamos permutação de três elementos.
Arranjos:
Imagine agora as mesmas pessoas A, B e C porém uma não pode ser atendida.
Neste caso podemos formar vários grupos de 2 elementos retirados de 3 e como a ordem na fila diferencia um grupo de outro temos o tipo de agrupamento denominado Arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2. ( Dizemos Arranjos de n elementos tomados p a p)
A B
B A
A C
C A
B C
C B
A fórmula será An,p = n! / (n-p)! no nosso exemplo A3,2 = 3!/(3-2)! --- A3,2 = 3!/1!---- A3,2 = 6
Combinações:
Neste agrupamento a ordem é desconsiderada, ou seja, o grupo AB=BA, AC=CA e BC=CB, então teremos só 3 grupos.
AC
AB
BC
A fórmula será Cn,p = n! / p!(n-p)!
No nosso exemplo:
C3,2 = 3! / 2!(3-2)!
C3,2 = 3!/2!.1!
C3,2 = 3
Passando agora ao seu exercício, pense bem, NÃO iremos utilizar permutação pois não entram TODOS os elementos e sim 3 em cada grupo, basta saber agora se interessa a ordem ou não.
No caso não interessa a ordem então teremos Combinações de números ímpares de 0 a 10 ( 1,3,5,7,9) veja que nós temos 5 elementos que serão tomados 3 a 3.
Logo:
C5,3= 5! / 3!(5-3)!
C5,3= 5! / 3!.2!
C5,3= 5.4.3! / 3!.2!
C5,3= 20/2
C5,3= 10
Portanto podemos escolher de dez formas diferentes se não importa a ordem.
1 de set. de 2011
Uma questão sobre atrito estático.
Se o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro e a estrada é dado por "x", e a aceleração da gravidade representada por g, a aceleração máxima que o carro pode ter será calculada por: (considere a estrada sem inclinação)
a)x/g
b)x.g
c)g/x
d)x².g
e)x²/g
Resolução:
A aceleração será máxima quando tivermos força de atrito estática máxima ou seja Fat=u.Normal
A Normal no caso será o peso do veículo Normal=m.g
Então teremos m.a=u.Normal
m.a=u.m.g
Simplificando m:
a=u.g
Mas u=x, logo:
amáx=x.g
a)x/g
b)x.g
c)g/x
d)x².g
e)x²/g
Resolução:
A aceleração será máxima quando tivermos força de atrito estática máxima ou seja Fat=u.Normal
A Normal no caso será o peso do veículo Normal=m.g
Então teremos m.a=u.Normal
m.a=u.m.g
Simplificando m:
a=u.g
Mas u=x, logo:
amáx=x.g
30 de ago. de 2011
Determinar o comprimento da mediana AM do triangulo cujos vértices são A(2,3) B( 4,-2) e C(0,-6)
Resolução:
Como queremos a distância entre o vértice A e o ponto central de CB só precisamos calcular o ponto central de CB:
xMbc = (0+4)/2
xMbc = 2
e
yMbc = (-2-6)/2
yMbc = -4
Agora calcule a distância entre os pontos A e o ponto central de BC.
d = Raiz quadrada de [ (2-2)²+(3-(-4))²]
d = R Q de (0+49)
d = 7
Resolução:
Como queremos a distância entre o vértice A e o ponto central de CB só precisamos calcular o ponto central de CB:
xMbc = (0+4)/2
xMbc = 2
e
yMbc = (-2-6)/2
yMbc = -4
Agora calcule a distância entre os pontos A e o ponto central de BC.
d = Raiz quadrada de [ (2-2)²+(3-(-4))²]
d = R Q de (0+49)
d = 7
27 de ago. de 2011
São dadas.duas.retas.paralelas.Marcam-se.10.pontos..distintos.sobre.uma.reta.e.8.pontos.distintos.sobre.a.outra.Quantos.triângulos.podemos.formar.ligando.3.quaisquer.desses.18.pontos?
Resolução:
Primeiro.vamos.imaginar.uma.das.duas.retas.qualquer.
Se.pegarmos.a.que.possui.10.pontos.e.cada.ponto.for.um.dos.vértices.dos.triângulos,então.os.pontos.da.outra.reta.serão.os.vértices.restantes.que.serão.COMBINADOS.assim.teremos:
C8,2=8!/2!.(8-2)!
C8,2=8!/(2!.6!)
C8,2=8.7.6!/2!.6!
C8,2=8.7/2!
C8,2=4.7
C8,2=28
Como.temos.10.pontos.na.outra.reta.multiplicamos.o.valor.acima.por10.esperando.o.outro.resultado.
Reta.1=10x28
Reta.1=280
A
nalogamente.para.a.reta.restante.teremos.:
8xC10,2=360
S
omamos.então.os.dois.resultados.obtendo.a.resposta.final.
280+360=640
14 de jun. de 2010
COLISÕES
(UFPB) Uma bola de massa igual a 0,5 Kg e velocidade de 72 Km/h se choca frontal e elasticamente contra uma parede rígida. O módulo da variação do momento linear ( Quantidade de movimento) da bola é de:
a) 36 Kg.Km/h
b) 10 Kg.m/s
c) 72 Kg.m/s
d) 20 Kg.m/s
Resolução:
Vamos considerar a QM (Quantidade de movimento) da bola antes do choque:
v=72Km/h
m=0,5Kg
Portanto a quantidade de movimento da bola antes da colisão é:
Qbola=+72.0,5
Qtotal=36Kg.Km/h
Como a colisão é elástica temos que e=1 logo a quantidade de movimento da bola será a mesma porém com sentido oposto.
Q'bola=-72.0,5
Q'bola=-36Kg.Km/h
Para calcularmos a VARIAÇÃO da QM basta fazer:
Variação= Qfinal-Qinicial
Variação=-36-(+36)
Variação=-36-36
Variação=-72Kg.Km/h
Converta agora de Km/h para m/s, basta dividir por 3,6:
Variação= -72/3,6 Kg.m/s
Variação= -20Kg.m/s
Alternativa (d).
a) 36 Kg.Km/h
b) 10 Kg.m/s
c) 72 Kg.m/s
d) 20 Kg.m/s
Resolução:
Vamos considerar a QM (Quantidade de movimento) da bola antes do choque:
v=72Km/h
m=0,5Kg
Portanto a quantidade de movimento da bola antes da colisão é:
Qbola=+72.0,5
Qtotal=36Kg.Km/h
Como a colisão é elástica temos que e=1 logo a quantidade de movimento da bola será a mesma porém com sentido oposto.
Q'bola=-72.0,5
Q'bola=-36Kg.Km/h
Para calcularmos a VARIAÇÃO da QM basta fazer:
Variação= Qfinal-Qinicial
Variação=-36-(+36)
Variação=-36-36
Variação=-72Kg.Km/h
Converta agora de Km/h para m/s, basta dividir por 3,6:
Variação= -72/3,6 Kg.m/s
Variação= -20Kg.m/s
Alternativa (d).
13 de out. de 2009
Derivação
Um homem com 1,8m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão a 15m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9m do edifício?
Resolução:
Utilizando uma figura que não temos como expor aqui chegaremos à seguinte proporção:
15/S = (15-x)/1,8
15.1,8 =S.(15-x)
27 = 15S-Sx
Temos que efetivar dois passos:
1º) Achar o valor da sombra S relativa à posição x=9 m.
27 = 15S-S.9
27 = 15S-9S
27 = 6S
6S = 27
S = 27/6
S = 9/2 m
2º) Diferenciar a expressão 27 = 15S -Sx:
d(27)/dt = d(15S)/dt - Sdx/dt - xdS/dt
0 = 15dS/dt - (9/2).-1,5 - 9dS/dt
0 = 15dS/dt + 27/2 - 9dS/dt
0 = 6dS/dt + 27/2
6dS/dt = -27/2
dS/dt = - 27/12
dS/dt = - 9/4 m/s
Fácil não é?
Resolução:
Utilizando uma figura que não temos como expor aqui chegaremos à seguinte proporção:
15/S = (15-x)/1,8
15.1,8 =S.(15-x)
27 = 15S-Sx
Temos que efetivar dois passos:
1º) Achar o valor da sombra S relativa à posição x=9 m.
27 = 15S-S.9
27 = 15S-9S
27 = 6S
6S = 27
S = 27/6
S = 9/2 m
2º) Diferenciar a expressão 27 = 15S -Sx:
d(27)/dt = d(15S)/dt - Sdx/dt - xdS/dt
0 = 15dS/dt - (9/2).-1,5 - 9dS/dt
0 = 15dS/dt + 27/2 - 9dS/dt
0 = 6dS/dt + 27/2
6dS/dt = -27/2
dS/dt = - 27/12
dS/dt = - 9/4 m/s
Fácil não é?
3 de out. de 2009
Retas tangentes
Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2x²-1.
Os resultados serão 2 equações!
Resolução:
O método de resolver este tipo de questão é encontrar a derivada da função dada e que no presente caso é y= 2x²-1.
y´= d(2x²-1)/dx
y´= 4xt xt= Abscissa de tangência.
Observe que este y´será numericamente igual ao valor do coeficiente angular das duas tangentes ao gráfico de y=2x²-1 no ponto de tangência.
Achemos as tangentes:
4xt = (yt - 13)/(xt-4)
yt=2xt²-1
Formamos um sistema de duas equações, tudo o que temos a fazer é resolver tal sistema:
4xt=(2xt²-1-13)/(xt-4)
4xt²-16xt=2xt²-14
2xt²-16xt+14=0
xt²-8xt+7=0
Resolvendo por Báskara encontramos xt´=1 e xt´´=7 e como consequência teremos duas tangentes que passam pelo ponto (4,13).
m1=4xt
m1=4.1
m1=4
4=(y-13)/(x-4)
4x-16=y-13
y-4x+3=0 ( 1ª reta tangente)
m2=4.7
m2=28
28=(y-13)/(x-4)
28x-112=y-13
y-28x+99=0 ( 2ª reta tangente)
Os resultados serão 2 equações!
Resolução:
O método de resolver este tipo de questão é encontrar a derivada da função dada e que no presente caso é y= 2x²-1.
y´= d(2x²-1)/dx
y´= 4xt xt= Abscissa de tangência.
Observe que este y´será numericamente igual ao valor do coeficiente angular das duas tangentes ao gráfico de y=2x²-1 no ponto de tangência.
Achemos as tangentes:
4xt = (yt - 13)/(xt-4)
yt=2xt²-1
Formamos um sistema de duas equações, tudo o que temos a fazer é resolver tal sistema:
4xt=(2xt²-1-13)/(xt-4)
4xt²-16xt=2xt²-14
2xt²-16xt+14=0
xt²-8xt+7=0
Resolvendo por Báskara encontramos xt´=1 e xt´´=7 e como consequência teremos duas tangentes que passam pelo ponto (4,13).
m1=4xt
m1=4.1
m1=4
4=(y-13)/(x-4)
4x-16=y-13
y-4x+3=0 ( 1ª reta tangente)
m2=4.7
m2=28
28=(y-13)/(x-4)
28x-112=y-13
y-28x+99=0 ( 2ª reta tangente)
15 de set. de 2009
Análise Combinatória
Se eu tenho um Motel com 6 portas.
De quantas maneiras eu posso deixar meu Motel aberto?
RESOLUÇÃO:
Vejamos, designaremos as portas de A, B, C, D, E e F.
Para a porta A existem duas possibilidades aberta ou fechada.
Para todas as outras também.
Vc só precisa usar o PFC.
2X2X2X2X2X2=64 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
64-1=63 formas de o motel estar aberto.
Poderíamos utilizar o princípio da indução finita para provar a validade do raciocínio exposto acima, pense em 3 portas A, B e C.
a f f
a a f
a a a
a f a
f a f
f a a
f f f
f f a
2X2X2=8 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
Observe que há só uma forma de que o motel esteja fechado que é f f f, logo subtraímos 1 de 8 para que ele fique aberto.
8-1=7
OBS: Questão retirada de uma comunidade e que foi postada por um membro chamado Daniel, achei interessante e postei para vcs verem esta resolução.
Portanto os créditos da questão vão para o Daniel.
De quantas maneiras eu posso deixar meu Motel aberto?
RESOLUÇÃO:
Vejamos, designaremos as portas de A, B, C, D, E e F.
Para a porta A existem duas possibilidades aberta ou fechada.
Para todas as outras também.
Vc só precisa usar o PFC.
2X2X2X2X2X2=64 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
64-1=63 formas de o motel estar aberto.
Poderíamos utilizar o princípio da indução finita para provar a validade do raciocínio exposto acima, pense em 3 portas A, B e C.
a f f
a a f
a a a
a f a
f a f
f a a
f f f
f f a
2X2X2=8 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
Observe que há só uma forma de que o motel esteja fechado que é f f f, logo subtraímos 1 de 8 para que ele fique aberto.
8-1=7
OBS: Questão retirada de uma comunidade e que foi postada por um membro chamado Daniel, achei interessante e postei para vcs verem esta resolução.
Portanto os créditos da questão vão para o Daniel.
14 de set. de 2009
Polinômios
Sem efetuar a divisão, determinar a e b de forma que o polinômio f=(x+2)³+(x-1)³+3ax+b seja divisível por g=(x-2)².
Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]
Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b
g=x²-4x+4
Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)
Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:
c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d
Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d
d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d
Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11
a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37
Portanto a=-17 e b=37
Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]
Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b
g=x²-4x+4
Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)
Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:
c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d
Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d
d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d
Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11
a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37
Portanto a=-17 e b=37
8 de set. de 2009
Funções de 1º grau
Seja a função f, de R em R, dada por f(x)= Kx + t, em que k e t são constantes reais. Se os pontos (-1,3) e (0,-1) pertencem ao grafico f, então:
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
d) f(x) < 0 se x = -2
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Resolução:
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
Primeiro substitua os valores de x e y pertencentes aos dois pares ordenados (-1,3) e ( 0,-1).
3=k.(-1)+t
e
-1=k.0+t
Teremos um sistema de duas equações, precisaremos descobrir os valores de k e t.
3=-k+t
-1=t
Sabendo o valor de t na segunda equação jogue na primeira:
3=-k-1
Invertendo os membros:
-k-1=3
k+1=-3
k=-3-1
k=-4
Portanto a função é definida por f(x)=-4x-1.
Para saber se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente vc só precisa saber se o número que acompanha o x ( Variável independente) é negativo ou positivo, vamos tomar como exemplo uma função da forma f(x)=ax+b, observe a regra:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Como na função dada a=-4, teremos que a função será sempre decrescente para todo x pertencente ao conjunto dos números reais, ok? Portanto a assertiva A está INCORRETA.
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
Para conhecermos a raiz de uma equação de 1º grau temos que fazer y=0, como nossa função é expressa por y=-4x-1, é só substituirmos y por 0 para achar a raiz x.
0=-4x-1
4x=-1
x=-1/4
Como 3/4 é diferente de -1/4 concluímos que a assertiva B está INCORRETA.
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
Para saber se um dado par ordenado pertence ao gráfico de uma função precisamos substituir x ou y e encontrar o valor correto para a variável restante:
Se começarmos com x=-10:
y=-4x-1
y=-4.(-10)-1
y=+40-1
y=+39 ( Errado pois o valor de y deveria ser 41 para que a alternativa estivesse certa)
Se usarmos y=41:
y=-4x-1
41=-4x-1
4x=-1-41
4x=-42
x=-42/4 ( Errado pois o valor de x deveria ser -10 para que a alternativa estivesse certa)
Portanto a assertiva C está INCORRETA.
d) f(x) < 0 se x = -2
Aqui temos uma inequação de 1º grau, vamos substituir a expressão matemática da função f(x):
-4x-1<0
-4x<+1
Aqui precisamos tomar cuidado redobrado, a regra é que SEMPRE que multiplicarmos os membros de uma inequação por -1 temos que inverter o sinal da desigualdade:
(-1).-4x>-1.(+1)
+4x>-1
x>-1/4
Como -2<-1/4 concluímos que f(x)>0 para x=-2 logo a assertiva D está INCORRETA.
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Uma regra que sempre ensino a meus alunos é que estudem a vizinhança de pontos em torno da raiz da função que gera a inequação.
f(x)=-4x-1
Como vimos a raiz é -1/4
Neste caso nem precisaremos utilizar a raiz.
Substitua x= 1/2 em f(x) e observe o sinal resultante.
f(x)=-4x-1
f(1/2)=-4.1/2-1
f(1/2)=-4/2-1
f(1/2)=-2-1
f(1/2)=-3
A proposição afirmava que f(x) deveria ser igual ou MENOR que zero, o valor y=-3 é MENOR que zero logo a assertiva está CORRETA.
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
d) f(x) < 0 se x = -2
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Resolução:
a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
Primeiro substitua os valores de x e y pertencentes aos dois pares ordenados (-1,3) e ( 0,-1).
3=k.(-1)+t
e
-1=k.0+t
Teremos um sistema de duas equações, precisaremos descobrir os valores de k e t.
3=-k+t
-1=t
Sabendo o valor de t na segunda equação jogue na primeira:
3=-k-1
Invertendo os membros:
-k-1=3
k+1=-3
k=-3-1
k=-4
Portanto a função é definida por f(x)=-4x-1.
Para saber se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente vc só precisa saber se o número que acompanha o x ( Variável independente) é negativo ou positivo, vamos tomar como exemplo uma função da forma f(x)=ax+b, observe a regra:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Como na função dada a=-4, teremos que a função será sempre decrescente para todo x pertencente ao conjunto dos números reais, ok? Portanto a assertiva A está INCORRETA.
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
Para conhecermos a raiz de uma equação de 1º grau temos que fazer y=0, como nossa função é expressa por y=-4x-1, é só substituirmos y por 0 para achar a raiz x.
0=-4x-1
4x=-1
x=-1/4
Como 3/4 é diferente de -1/4 concluímos que a assertiva B está INCORRETA.
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
Para saber se um dado par ordenado pertence ao gráfico de uma função precisamos substituir x ou y e encontrar o valor correto para a variável restante:
Se começarmos com x=-10:
y=-4x-1
y=-4.(-10)-1
y=+40-1
y=+39 ( Errado pois o valor de y deveria ser 41 para que a alternativa estivesse certa)
Se usarmos y=41:
y=-4x-1
41=-4x-1
4x=-1-41
4x=-42
x=-42/4 ( Errado pois o valor de x deveria ser -10 para que a alternativa estivesse certa)
Portanto a assertiva C está INCORRETA.
d) f(x) < 0 se x = -2
Aqui temos uma inequação de 1º grau, vamos substituir a expressão matemática da função f(x):
-4x-1<0
-4x<+1
Aqui precisamos tomar cuidado redobrado, a regra é que SEMPRE que multiplicarmos os membros de uma inequação por -1 temos que inverter o sinal da desigualdade:
(-1).-4x>-1.(+1)
+4x>-1
x>-1/4
Como -2<-1/4 concluímos que f(x)>0 para x=-2 logo a assertiva D está INCORRETA.
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2
Uma regra que sempre ensino a meus alunos é que estudem a vizinhança de pontos em torno da raiz da função que gera a inequação.
f(x)=-4x-1
Como vimos a raiz é -1/4
Neste caso nem precisaremos utilizar a raiz.
Substitua x= 1/2 em f(x) e observe o sinal resultante.
f(x)=-4x-1
f(1/2)=-4.1/2-1
f(1/2)=-4/2-1
f(1/2)=-2-1
f(1/2)=-3
A proposição afirmava que f(x) deveria ser igual ou MENOR que zero, o valor y=-3 é MENOR que zero logo a assertiva está CORRETA.
21 de ago. de 2009
Probabilidade com eventos independentes
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Por definição eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro, como exemplo tomemos o nascimento de um macho, para nascer uma fêmea ou outro macho não importa se nasceu macho ou fêmea no primeiro evento.
No problema acima temos bolas vermelhas e bolas azuis, o fato de sair vermelha no primeiro evento não impede que saia vermelha ou azul no segundo evento, logo dizemos que os dois eventos são independentes. Para eventos independentes é válida a seguinte fórmula P= p1Xp2. Portanto iremos primeiro calcular a probabilidade do primeiro evento, ou seja, sair bola vermelha na primeira retirada.
Temos 30 bolas ao todo e destas temos 10 vermelhas, logo a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha na primeira extração será:
P1=10/30
p1=1/3
Agora vamos calcular a probabilidade de sair bola azul na segunda extração, são 20 bolas azuis e 30 bolas no total:
p2=20/30
Finalmente vamos calcular a probabilidade dos dois eventos dada pela fórmula inicial:
P=p1Xp2
P=1/3 X 20/30
P=20/90
P=2/9
Resolução:
Por definição eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro, como exemplo tomemos o nascimento de um macho, para nascer uma fêmea ou outro macho não importa se nasceu macho ou fêmea no primeiro evento.
No problema acima temos bolas vermelhas e bolas azuis, o fato de sair vermelha no primeiro evento não impede que saia vermelha ou azul no segundo evento, logo dizemos que os dois eventos são independentes. Para eventos independentes é válida a seguinte fórmula P= p1Xp2. Portanto iremos primeiro calcular a probabilidade do primeiro evento, ou seja, sair bola vermelha na primeira retirada.
Temos 30 bolas ao todo e destas temos 10 vermelhas, logo a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha na primeira extração será:
P1=10/30
p1=1/3
Agora vamos calcular a probabilidade de sair bola azul na segunda extração, são 20 bolas azuis e 30 bolas no total:
p2=20/30
Finalmente vamos calcular a probabilidade dos dois eventos dada pela fórmula inicial:
P=p1Xp2
P=1/3 X 20/30
P=20/90
P=2/9
12 de ago. de 2009
Fluxo Térmico
Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma vidro de área 1,5 m² e espessura 3.-³ m a temperatura externa é -5 ºC e a interna é mantida a 20 ºC , através da queima da carvão. qual a massa de carvão consumida no período de 12 horas para repor o calor perdido apenas pelas janelas?
Dados:
condutividade térmica do vidro= 0,72 Kcal/(h.m.ºC)
calor de combustão do carvão - 6.10³cal/g
Resolução:
Questão elementar envolvendo a fórmula Q/m = k.S.t.(T2-T1)/e.m
Primeiro colete os dados observando as unidades de medida.
Área S= 1,5 m²
Espessura e = 3.10-³ m
T2= 20° C
T1= -5°C
Tempo t = 12 h
k = 0,72 Kcal/(h.m.°C)=0,72.1000 cal/(h.m.°C)=720 cal/(h.m.°C)
Q/m = 6.10³ cal/g
A única unidade a ser mudada é a de Kcal para cal na grandeza física k, é só multiplicarmos por 1000 e eliminar o prefixo multiplicativo K.
Agora tudo o que temos a fazer é usar a fórmula Q/m=k.S.(T2-T1).t/e.m:
M=5.18Kg
M=90 Kg
Dados:
condutividade térmica do vidro= 0,72 Kcal/(h.m.ºC)
calor de combustão do carvão - 6.10³cal/g
Resolução:
Questão elementar envolvendo a fórmula Q/m = k.S.t.(T2-T1)/e.m
Primeiro colete os dados observando as unidades de medida.
Área S= 1,5 m²
Espessura e = 3.10-³ m
T2= 20° C
T1= -5°C
Tempo t = 12 h
k = 0,72 Kcal/(h.m.°C)=0,72.1000 cal/(h.m.°C)=720 cal/(h.m.°C)
Q/m = 6.10³ cal/g
A única unidade a ser mudada é a de Kcal para cal na grandeza física k, é só multiplicarmos por 1000 e eliminar o prefixo multiplicativo K.
Agora tudo o que temos a fazer é usar a fórmula Q/m=k.S.(T2-T1).t/e.m:
6.10³cal/g={720 cal/(h.m.°C).[1,5m²].[20°C-(-5°C)]}.12h /3.10-³m.[m]<--Massa m
6000=720.1,5.25.12/0,003m
6000=324000/0,003m
6000.0,003m=324000
18m=324000
m=324000/18
m=18000 g ou m=18000/1000 Kg ou m=18 Kg
Como a casa tem 5 janelas teremos que ter uma massa de carvão igual a cinco vezes o resultado encontrado pois a área é de 5 vezes 1,5 m², então a resposta final será:6000=720.1,5.25.12/0,003m
6000=324000/0,003m
6000.0,003m=324000
18m=324000
m=324000/18
m=18000 g ou m=18000/1000 Kg ou m=18 Kg
M=5.18Kg
M=90 Kg
8 de ago. de 2009
A FÍSICA E O MÉTODO EXPERIMENTAL
A Física é uma ciência que procura descrever os fenômenos da natureza e prever resultados em prol da humanidade. É por esta razão que chamamos a Física de ciência exata. Mas como prevemos resultados futuros? Simples, através do método científico que basicamente se dá através de observações e coleta de informações, a partir daí podemos analisar as respostas e procurar adequar a uma fórmula.
A grosso modo podemos dizer que existem duas espécies de físicos, o teórico e o experimental, o teórico é responsável por criar equações que expressem um determinado problema físico, ou seja, este se preocupa em harmonizar a Física com a Matemática, por outro lado o físico experimental é aquele que fará experiências e listará os resultados obtidos fornecendo assim informações preciosas ao ramo teórico.
Houve diversos físicos que dedicaram-se as duas áreas, tanto à teórica quanto à experimental.
Nem sempre é fácil expressar um fenômeno natural através de fórmulas pela simples razão de que há muitas variáveis envolvidas na situação e como consequência sempre haverá uma margem de erros nas medições, chamamos isto de grau de incerteza.
Posso citar como exemplo um corpo em queda livre sofrendo atração gravitacional, se considerarmos todas as influências que o corpo sofrerá em seu movimento o problema físico tornar-se-ia extremamente complexo então desconsideramos certas condições como a resistência do ar, o movimento de rotação terrestre, a atração gravitacional de outros corpos, etc...
Os fenômenos naturais são classificados em aleatórios e determinados, qual a diferença?
O fenômeno aleatório é aquele que não podemos prever futuros resultados mesmo coletando informações, um bom exemplo seria o lançamento de um dado, por mais que anotemos os resultados de cada lançamento não saberíamos prever com certeza eventos futuros.
Estes eventos estão ligados ao acaso daí provém o nome aleatório, incerto, os ramos da Matemática responsáveis por seu estudo são a Estatística e a Teoria das Probabilidades.
O evento determinado sob certas condições é aquele cuja resposta podemos obter com um certo grau de precisão como já afirmei antes desconsiderando certas influências.
Um exemplo seria a ebulição de uma determinada massa de água em uma chaleira, sabendo a potência térmica da fonte de calor e conhecendo o ponto de ebulição da água, a temperatura inicial, a massa, etc... poderíamos prever em quanto tempo a água transformar-se-ia em vapor.
A dificuldade maior de um físico ao formular a equação de um problema natural é harmonizar as constantes e variáveis.
Gostaria de que ficasse bem claro a vocês alunos a seguinte idéia sobre equações matemáticas, é fundamentalmente importante que saibam interpretar uma equação, vamos exemplificar inicialmente com a função horária das velocidades que descreve o movimento uniformemente variado.
V = Vo + a.t
Observem que em Matemática dizemos que a equação ou fórmula acima possui dois membros:
1º Membro=> V
2º Membro=> Vo+a.t
O primeiro membro é constituído de um só monômio ( Chamado também de termo algébrico) que é V ( Velocidade determinada em um instante t).
O segundo membro da equação possui dois monômios ( Termos) que são Vo e a.t onde:
O primeiro termo é a velocidade inicial do corpo móvel Vo.
O segundo termo é o produto entre a aceleração (a) e um instante qualquer (t).
Vamos agora dar um exemplo numérico ou seja com valores determinados para Vo e a.
Imaginem um móvel cuja velocidade inicial é 20 m/s e a aceleração seja 2m/s² ( Falarei em outro tópico sobre as unidades de medida em Física). Podemos prever qual sua velocidade em um instante qualquer pois conhecemos sua velocidade inicial, sua aceleração e possuímos a fórmula que prevê os resultados futuros.
Se quisermos saber qual a velocidade da partícula no instante t=3s só teríamos que substituir na fórmula.
V(t)=20+2t
V(3s)=20+2.3
V(3s)=20+6
V(3s)=26m/s
A grosso modo podemos dizer que existem duas espécies de físicos, o teórico e o experimental, o teórico é responsável por criar equações que expressem um determinado problema físico, ou seja, este se preocupa em harmonizar a Física com a Matemática, por outro lado o físico experimental é aquele que fará experiências e listará os resultados obtidos fornecendo assim informações preciosas ao ramo teórico.
Houve diversos físicos que dedicaram-se as duas áreas, tanto à teórica quanto à experimental.
Nem sempre é fácil expressar um fenômeno natural através de fórmulas pela simples razão de que há muitas variáveis envolvidas na situação e como consequência sempre haverá uma margem de erros nas medições, chamamos isto de grau de incerteza.
Posso citar como exemplo um corpo em queda livre sofrendo atração gravitacional, se considerarmos todas as influências que o corpo sofrerá em seu movimento o problema físico tornar-se-ia extremamente complexo então desconsideramos certas condições como a resistência do ar, o movimento de rotação terrestre, a atração gravitacional de outros corpos, etc...
Os fenômenos naturais são classificados em aleatórios e determinados, qual a diferença?
O fenômeno aleatório é aquele que não podemos prever futuros resultados mesmo coletando informações, um bom exemplo seria o lançamento de um dado, por mais que anotemos os resultados de cada lançamento não saberíamos prever com certeza eventos futuros.
Estes eventos estão ligados ao acaso daí provém o nome aleatório, incerto, os ramos da Matemática responsáveis por seu estudo são a Estatística e a Teoria das Probabilidades.
O evento determinado sob certas condições é aquele cuja resposta podemos obter com um certo grau de precisão como já afirmei antes desconsiderando certas influências.
Um exemplo seria a ebulição de uma determinada massa de água em uma chaleira, sabendo a potência térmica da fonte de calor e conhecendo o ponto de ebulição da água, a temperatura inicial, a massa, etc... poderíamos prever em quanto tempo a água transformar-se-ia em vapor.
A dificuldade maior de um físico ao formular a equação de um problema natural é harmonizar as constantes e variáveis.
Gostaria de que ficasse bem claro a vocês alunos a seguinte idéia sobre equações matemáticas, é fundamentalmente importante que saibam interpretar uma equação, vamos exemplificar inicialmente com a função horária das velocidades que descreve o movimento uniformemente variado.
V = Vo + a.t
Observem que em Matemática dizemos que a equação ou fórmula acima possui dois membros:
1º Membro=> V
2º Membro=> Vo+a.t
O primeiro membro é constituído de um só monômio ( Chamado também de termo algébrico) que é V ( Velocidade determinada em um instante t).
O segundo membro da equação possui dois monômios ( Termos) que são Vo e a.t onde:
O primeiro termo é a velocidade inicial do corpo móvel Vo.
O segundo termo é o produto entre a aceleração (a) e um instante qualquer (t).
Vamos agora dar um exemplo numérico ou seja com valores determinados para Vo e a.
Imaginem um móvel cuja velocidade inicial é 20 m/s e a aceleração seja 2m/s² ( Falarei em outro tópico sobre as unidades de medida em Física). Podemos prever qual sua velocidade em um instante qualquer pois conhecemos sua velocidade inicial, sua aceleração e possuímos a fórmula que prevê os resultados futuros.
Se quisermos saber qual a velocidade da partícula no instante t=3s só teríamos que substituir na fórmula.
V(t)=20+2t
V(3s)=20+2.3
V(3s)=20+6
V(3s)=26m/s
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