CINEMÁTICA VETORIAL

A velocidade v de uma partícula que se move no plano xy é dada por v=(6,0t-4,0t²) î + 8,0 ĵ com v em metros por segundo e t(>0)em segundos.(a)Qual é a aceleração quando t= 3,0s? (b) Quando (se ocorrer) a aceleração se anula? (c) Quando (se ocorrer) a velocidade se anula? (d) Quando (se ocorrer) o módulo da velocidade é igual a 10 m/s?

Resolução:

V=(6t-4t²)i + 8j

a)
Sabemos que a=dv/dt
a=d[(6t-4t²)i + 8j]/dt
a=(6-8t)i + 0j
a=(6-8t)i
Para t=3s:
a=(6-8.3)i
a=(6-24)i
a=-18i m/s²

b)
A expressão da aceleração vetorial é a=(6-8t)i.
O valor de a é zero quando:
a=0
0=(6-8t)i
6-8t=0
-8t=-6
t=-6/-8
t=0,75 s

c)
A expressão de V é dada por V=(6t-4t²)i + 8j, para sabermos se a velocidade se anula, basta jogarmos t=0,75s em V:
V=(6.0,75-4.0,75²)i + 8j
V=(4,5-2,25)i + 8j
V=2,25i + 8j
A velocidade NÃO se anula quando a=0.

d)
Para calcular o módulo de v, temos que pegar as componentes Vx e Vy:

|V|²=(Vx)² + (Vy)²
|V|²=(6t-4t²)² + 8²
Mas |V|=10m/s:
10²=8²+2²(3t-2t²)²
(100-64)/4 = (3t-2t²)²
36/4 = (3t-2t²)²
9=(3t-2t²)²
A partir daqui teremos duas equações:

3t-2t²= +V9
3t-2t²=3
e
3t-2t²=-V9
3t-2t²=-3

As equações 2t²-3t+3=0 e 2t²-3t-3=0 são independentes:

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO MINISTÉRIO DA FAZENDA 2009 CONTINUAÇÃO

75-Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que dois oráculos nunca erravam e um sempre errava.
Consultados os oráculos, dois falaram que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei:
a) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha.
b) certamente ganharia a batalha.
c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha.
d) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha.
e) certamente perderia a batalha.

Resolução:

76-Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?
a) 50%
b) 23%
c) 27%
d) 25%
e) 20%

Resolução:
P6=20%=20%/100%=0,2
P5=x
P4=x
P3=x
P2=x
P1=x
Vamos calcular x usando a soma de todas as probabilidades (Teorema da Probabilidade Total).
P1+P2+P3+P4+P5+P6=1
x+x+x+x+x+0,2=1
5x+0,2=1
5x=1-0,2
5x=0,8
x=0,8/5
x=1,6/10
x=0,16
Vamos calcular a probabilidade de sair número par:
P2+P4+P6=Ppar
Ppar=x+x+0,2
Ppar=2x+0,2
Porém x=0,16:
Ppar=2.0,16+0,2
Ppar=0,32+0,20
Ppar=0,52
Para que saia par duas vezes:
Ppar.Ppar
0,52.0,52
0,2704
Multiplicando por 100%:
0,2704.100%
27,04%

Alternativa (c)

77-A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.
b) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.
c) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
d) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

78-Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados
em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 25%
d) 57%
e) 50%

79-Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o
determinante da matriz fica:
a) Multiplicado por -2/3.
b) Multiplicado por -1.
c) Multiplicado por 2/3.
d) Multiplicado por 16/81.
e) Multiplicado por -16/81.

Resolução:

A mais fácil de todas, é só fazer analogia com uma matriz de ordem n igual a 2:
|3 5|
|2 6|

O determinante será (3.6)-(2.5)=18-10=8.
Aplicando a multiplicação de 2 pela 1ª linha:
|6 10|
|2 6|
Dividindo os elementos da 2ª linha por -3:
|6____10|
|-2/3 -2|
Calculando o determinante:
(6.-2)-(10.-2/3)
-12-(-20/3)
-12+20/3
(-36+20)/3
-16/3
Vamos agora "ver" a relação entre 8 e -16/3:
Determ1=8
Determ2=-16/3
Dividindo membro à membro:
Det1/Det2=8/(-16/3)
Det1/Det2= -24/16
Det1/Det2= - 3/2
Det2= -2/3Det1
O determinante Det1 fica multiplicado por -2/3.

Alternativa (a)

80-Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 7%
b) 35%
c) 17%
d) 58%
e) 42%

Resolução:

Para um dado honesto P1=P2=P3=P4=P5=P6=1/6
Jogando três vezes a probabilidade de sair um será:
P=Cn,p.P1^p.Pñsair^(n-p)
P=[3!/2!(3-2)!].(1/6)¹(5/6)²
P=[3.2!/2!.1!].(1/6).(25/36)
P=[3/1!].25/216
P=75/216
Multiplicando por 100%:
P=7500%/216
P=34,722222222222222222...%
Aproximadamente 35%

Alternativa (b)

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO MINISTÉRIO DA FAZENDA 2009

71-Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 20
b) 16
c) 15
d) 30
e) 24

Resolução:
5otrabalhadores----n-----8h/d-----24dias
40trabalhadores---0,8n--10h/d----x

Quanto MAIS trabalhadores MENOS tempo.
Quanto MAIS rendimento MENOS tempo.
Quanto MAIS horas por dia MENOS tempo.

x/24 = 8/10 . n/0,8n . 50/40
x/24 = 400n/32on
x/24 = 40/32
x=24.40/32
x=3.40/4
x=3.10
x=30 dias

Alernativa (d)

72-Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 16 horas

b) 24 horas
c) 20 horas
d) 12 horas
e) 30 horas

Resolução:
Para este tipo de problema a solução mais rápida é somar os inversos.
1/Ttotal = 1/24 + 1/48
1/Ttotal = 2/48 + 1/48
1/Ttotal = 3/48
Ttotal = 48/3
Ttotal = 16 horas

Alternativa (a).

73-Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que:
a) Marta ficou em casa.
b) Martinho foi ao shopping.
c) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao
shopping.
d) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em
casa.
e) Márcio e Martinho foram ao shopping.

Resolução:
Neste tipo venha caminhando ao contrário
Mário foi ao shopping-->Martinho NÃO foi ao shopping-->Marta NÃO ficou em casa-->Márcio NÃO foi ao shopping.

Alternativa (d)

74-X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim:
a) Se X ≥ 4, então Y <> 4.
c) Se Y > 7, então X ≥ 4.
d) Se Y <>

Y≤7 e X >4

GABARITOS DA PROVA DO MINISTÉRIO DA FAZENDA

Para quem fez o concurso do Ministério da Fazenda no domingo ( 24/05/2009).
Gabaritos

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Em uma progressão aritmética, o primeiro termo vale 1/2 e a soma dos vinte e cinco primeiros termos é igual a 925/2. A razão desta progressão vale:

Resolução:

a1=1/2 ( Primeiro termo)
S25=925/2 (Soma dos 25 primeiros termos)

Vamos usar a fórmula da soma dos n termos, como temos 25 termos logo n=25.

Sn=(a1+an).n/2
S25=(1/2+a25).25/2
925/2=(1/2+a25).25/2
Eliminando o 2 dos denominadores teremos:
925=(1/2+a25).25
925/25=(1/2+a25)
37=(1/2+a25)
37=1/2+a25
1/2+a25=37
a25=37-1/2
a25=(74-1)/2
a25=73/2

Para achar a razão é só jogarmos os dados obtidos na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1).r
an=a25=73/2
a1=1/2
n=25

73/2=1/2+(25-1).r
73/2-1/2=24r
24r=73/2-1/2
24r=72/2
24r=36
r=36/24 ( Simplificando por 4)

r=9/6 (Simplificando por 3)
r=3/2

CINEMÁTICA VETORIAL - DESLOCAMENTO

Um carro percorre uma distância de 20 km no sentido oeste-leste; a seguir percorre 8 km no sentido sul-norte e por último percorre 6 km numa direção NO que forma um ângulo de 60 graus com o norte e 30 graus com o leste. Determine o módulo do deslocamento resultante do carro. Use cos 30 graus = 0,8.

Resolução:

O deslocamento do carro se dará em três etapas.
A primeira paralela ao eixo horizontal oeste-leste a qual chamaremos eixo x.
A segunda paralela ao eixo vertical sul-norte a qual chamaremos eixo y.
Iremos precisar visualizar em uma figura a situação para podermos esquematizar uma solução, irei criar uma figura e assim que tiver a figura colocarei aqui.
Portanto vamos à resolução sem figura.
Para o eixo x o deslocamento será dado por x=20-6cos30°.
Para o eixo y o deslocamento será dado por y=8+6sen30°.
O módulo do deslocamento vetorial total será:
|D|²= x²+y²
|D|²=(20-6.cos30°)²+(8+6.sen30°)²
|D|²=(20-6.0,8)²+(8+6.0,5)²
|D|²=(20-4,8)²+(8+3)²
|D|²=(15,2)²+(11)²
|D|²=231,04+121
|D|²=352,04
|D|=V352,04
|D|=18,76272901...km
Aproximadamente 18,76 km.

Vejam esta definição de fantasmas, é hilária

http://desciclo.pedia.ws/wiki/Fantasma

Fonte: Descilopédia.

P.A, e P.G.

Os números x,y e z formam uma P.A. crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8 unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma P.G. Então o valor de z é?

Resolução:

PA:
a1=x
a2=y
a3=z
x+y+z=48

PG:
a1=x
a2=y
a3=z+8

Na PA teremos:
y-x=z-y
Na PG teremos:
y/x=(z+8)/y
y²=x(z+8)

Temos então um sistema com 3 equações:
x+y+z=48
2y=z+x
y²=x(z+8)
Como queremos z, isolaremos x na 1ª eq. e substituiremos nas outrs duas equações:
x=48-y-z

2y=z+(48-y-z)
y²=(48-y-z).(z+8)

Isolaremos agora o y em 2y=z+(48-y-z):
2y=z+48-y-z
2y+y=z-z+48
3y=0+48
3y=48
y=16 ( Descobrimos o valor de y)
Vamos agora jogar y=16 na última equação:
y²=(48-y-z).(z+8)
16²=(48-16-z).(z+8)
256=(32-z).(z+8)
256=32z+256-z²-8z
z²-24z=0
Resolvendo por Báskara encontramos:
z´=0 e z´´=24

x=48-y-z
x=48-16-0
x=32
ou
x=48-16-24
x=8
A PA pode ser:
32,16,0
ou
8,16,24
Como foi dito que a PA é crescente então:
8,16,24
Portanto z=24.

HIDROSTÁTICA EMPUXO E PESO APARENTE

Um cubo de 10 cm de aresta que possui 1,5 kg de massa é abandonado na água. Considerando-se g=10m / s², determine:
a) A massa específica do corpo.
b) O empuxo exercido pela água sobre o corpo.
c)O peso aparente do corpo.

a)
A massa específica de um corpo é dada por m/V.
m=1,5kg
V=10cm.10cm.10cm=0,1m.0,1m.0,1m
V=0,001m³=1000.0,001L=1L

d=1,5kg/1L
d=1,5kg/L

b)
O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, vamos considerar a massa de água no volume do cubo:
mágua=?
dágua=1kg/L
Vágua=1L

mágua=dágua.Vágua
mágua=1kg/L . 1L
mágua= 1kg
O peso da massa de água será:
P=mágua.g
P=1kg.10m/s²
P=10N
Este peso é igual ao empuxo:
E=Págua
E=10N

c)
O peso aparente é a subtração entre o peso do corpo e o empuxo:
Pcubo=mcubo.g
Pcubo=1,5kg.10m/s²
Pcubo=15N

Paparente=Pcubo-Empuxo
Paparente=15N-10N
Paparente=5N

ANÁLISE COMBINATÓRIA

O chefe da seção de laticínios de um supermercado quer arrumar 6 marcas diferentes de ervilhas em lata em duas prateleiras. Três delas ficarão na primeira prateleira e as outras três na segunda. De quantas maneiras ele pode escolher as marcas que ficarão em cada prateleira?

Resolução:

Vamos primeiro formar as combinações de 6 em dois grupos.
C6,2=6!/[2!.(6-2)!]
C6,2=6!/2!.4!
C6,2=6.5.4!/[2.1.4!]
C6,2=6.5/2
C6,2=3.5
C6,2=15

Como são dois grupos, temos que saber qual irá ficar na 1ª prateleira e qual irá ficar na 2ª:
C2,1=2!/1!(2-1)!
C2,1=2.1/1.1
C2,1=2

O resultado será pelo PFC:
C6,2.C2,1
15.2
30

CINEMÁTICA VETORIAL

Três astronautas, impulsionados por backpacks a jato, empurram e guiam um asteróide de 120 Kg em direção a uma plataforma de processamento, exercendo as forças mostradas na figura abaixo. Qual é a aceleração do asteróide
(a) na notação de vetor unitário?
(b) em módulo?
(c) em direção?

O SAMURAI E O MONGE

Há uma estória muito bonita que gostaria de compartilhar convosco.

No Japão há muito anos atrás existiu um grande samurai, era imbatível no uso da espada e em qualquer forma de combate. Um certo dia teve um sono perturbador sobre paraíso e inferno. Ao acordar decidiu que buscaria a resposta sobre o que é o paraíso e o inferno.
Andou durante anos inquirindo todas as pessoas cultas que encontrava. Vagou pelos templos porém nunca lhe deram uma resposta satisfatória e isto lhe angustiava, depois de uns vinte anos de andanças foi informado que no alto de uma montanha bem difícil de escalar vivia um monge que possivelmente saberia lhe dizer a diferença entre o paraíso e o inferno assim como o que eram estas idéias.
Sem hesitação escalou a montanha até o ápice e ao chegar reverenciou o ancião e indagou:
- Mestre, fui informado de que o senhor é muito sábio e instruído, e humildemente peço-lhe que diga-me o que é o paraíso e o inferno.
O ancião respondeu que não tinha a resposta no momento, o samurai depois de anos de procura ficou extremamente frustrado e irado sacou sua katana gritando em direção ao ancião.
Prontamente o ancião falou:
- Isto é o inferno.
O samurai se conteve, refletiu sobre seu ato e ajoelhou-se diante do ancião pedindo perdão, aí este afirmou:
- E isto é o paraíso.