P.A, e P.G.

Os números x,y e z formam uma P.A. crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8 unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma P.G. Então o valor de z é?

Resolução:

PA:
a1=x
a2=y
a3=z
x+y+z=48

PG:
a1=x
a2=y
a3=z+8

Na PA teremos:
y-x=z-y
Na PG teremos:
y/x=(z+8)/y
y²=x(z+8)

Temos então um sistema com 3 equações:
x+y+z=48
2y=z+x
y²=x(z+8)
Como queremos z, isolaremos x na 1ª eq. e substituiremos nas outrs duas equações:
x=48-y-z

2y=z+(48-y-z)
y²=(48-y-z).(z+8)

Isolaremos agora o y em 2y=z+(48-y-z):
2y=z+48-y-z
2y+y=z-z+48
3y=0+48
3y=48
y=16 ( Descobrimos o valor de y)
Vamos agora jogar y=16 na última equação:
y²=(48-y-z).(z+8)
16²=(48-16-z).(z+8)
256=(32-z).(z+8)
256=32z+256-z²-8z
z²-24z=0
Resolvendo por Báskara encontramos:
z´=0 e z´´=24

x=48-y-z
x=48-16-0
x=32
ou
x=48-16-24
x=8
A PA pode ser:
32,16,0
ou
8,16,24
Como foi dito que a PA é crescente então:
8,16,24
Portanto z=24.

HIDROSTÁTICA EMPUXO E PESO APARENTE

Um cubo de 10 cm de aresta que possui 1,5 kg de massa é abandonado na água. Considerando-se g=10m / s², determine:
a) A massa específica do corpo.
b) O empuxo exercido pela água sobre o corpo.
c)O peso aparente do corpo.

a)
A massa específica de um corpo é dada por m/V.
m=1,5kg
V=10cm.10cm.10cm=0,1m.0,1m.0,1m
V=0,001m³=1000.0,001L=1L

d=1,5kg/1L
d=1,5kg/L

b)
O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, vamos considerar a massa de água no volume do cubo:
mágua=?
dágua=1kg/L
Vágua=1L

mágua=dágua.Vágua
mágua=1kg/L . 1L
mágua= 1kg
O peso da massa de água será:
P=mágua.g
P=1kg.10m/s²
P=10N
Este peso é igual ao empuxo:
E=Págua
E=10N

c)
O peso aparente é a subtração entre o peso do corpo e o empuxo:
Pcubo=mcubo.g
Pcubo=1,5kg.10m/s²
Pcubo=15N

Paparente=Pcubo-Empuxo
Paparente=15N-10N
Paparente=5N

ANÁLISE COMBINATÓRIA

O chefe da seção de laticínios de um supermercado quer arrumar 6 marcas diferentes de ervilhas em lata em duas prateleiras. Três delas ficarão na primeira prateleira e as outras três na segunda. De quantas maneiras ele pode escolher as marcas que ficarão em cada prateleira?

Resolução:

Vamos primeiro formar as combinações de 6 em dois grupos.
C6,2=6!/[2!.(6-2)!]
C6,2=6!/2!.4!
C6,2=6.5.4!/[2.1.4!]
C6,2=6.5/2
C6,2=3.5
C6,2=15

Como são dois grupos, temos que saber qual irá ficar na 1ª prateleira e qual irá ficar na 2ª:
C2,1=2!/1!(2-1)!
C2,1=2.1/1.1
C2,1=2

O resultado será pelo PFC:
C6,2.C2,1
15.2
30

CINEMÁTICA VETORIAL

Três astronautas, impulsionados por backpacks a jato, empurram e guiam um asteróide de 120 Kg em direção a uma plataforma de processamento, exercendo as forças mostradas na figura abaixo. Qual é a aceleração do asteróide
(a) na notação de vetor unitário?
(b) em módulo?
(c) em direção?

O SAMURAI E O MONGE

Há uma estória muito bonita que gostaria de compartilhar convosco.

No Japão há muito anos atrás existiu um grande samurai, era imbatível no uso da espada e em qualquer forma de combate. Um certo dia teve um sono perturbador sobre paraíso e inferno. Ao acordar decidiu que buscaria a resposta sobre o que é o paraíso e o inferno.
Andou durante anos inquirindo todas as pessoas cultas que encontrava. Vagou pelos templos porém nunca lhe deram uma resposta satisfatória e isto lhe angustiava, depois de uns vinte anos de andanças foi informado que no alto de uma montanha bem difícil de escalar vivia um monge que possivelmente saberia lhe dizer a diferença entre o paraíso e o inferno assim como o que eram estas idéias.
Sem hesitação escalou a montanha até o ápice e ao chegar reverenciou o ancião e indagou:
- Mestre, fui informado de que o senhor é muito sábio e instruído, e humildemente peço-lhe que diga-me o que é o paraíso e o inferno.
O ancião respondeu que não tinha a resposta no momento, o samurai depois de anos de procura ficou extremamente frustrado e irado sacou sua katana gritando em direção ao ancião.
Prontamente o ancião falou:
- Isto é o inferno.
O samurai se conteve, refletiu sobre seu ato e ajoelhou-se diante do ancião pedindo perdão, aí este afirmou:
- E isto é o paraíso.

Equações

Resolva a equação 1/(1+x) + 1/(1+x)² = 1.

Solução:

Note que no primeiro membro temos dois termos que são: 2/(1+x) e 1/(1+x)².
No segundo membro só há um termo: 1.
Os denominadores do 1º membro são (1+x) e (1+x)².
Vamos tirar o MMC, é só multiplicar em cima e embaixo de 1/(1+x) o denominador (1+x)² e em cima e embaixo de 1/(1+x)² o denominador (1+x).

2.(1+x)²/(1+x).(1+x)² + 1.(1+x)/(1+x)².(1+x) = 1
2(1+2x+x²)+(1+x)=1.(1+x).(1+x)²
2+4x+2x²+1+x=(1+x).(1+2x+x²)
2x²+5x+3=1+2x+x²+x+2x²+x³
2x²+5x+3=1+3x+3x²+x³
x³+3x²+3x+1-2x²-5x-3=0
x³+x²-2x-2=0
Olhando para a equação vemos que uma das raízes é x= -1, pois este valor anula a expressão:
(-1)³+(-1)²-2(-1)-2=0
-1+1+2-2=0
0+0=0
0=0
Tudo o que temos a fazer agora é dividir x³+x²-2x-2 por [x-(-1)] para reduzir em um grau a equação:
x³+x²-2x-2 |x+1
_________x²-2
-x³-x²
---------------
-2x-2
+2x+2
---------------
0

O polinômio procurado é x²-2, logo:
x²-2=0
x=+ou-Raiz quadrada de 2

Portanto teríamos 3 valores possíveis -1, V2, V-2, porém x=-1 anula o denominador (1+x) logo não pode ser solução.
S={V2 , V-2}

QUESTÃO DE CINEMÁTICA - LANÇAMENTO HORIZONTAL

Uma bola de beisebol sai da mão de um arremessador na horizontal com uma velocidade de 161km/h. O batedor está distante 18,3m (Ignore o efeito da resistência do ar).
(a) Em quanto tempo a bola percorre a primeira metade dessa distância?
(b) E a segunda metade?
(c) Que distância vertical a bola percorre em queda livre durante a primeira metade?
(d) E durante a segunda metade?
( e) Por que os valores em (c) e (d) não são iguais?

Resolução:

Vamos inicialmente coletar as informações:
vo=161km/h=(161/3,6) m/s=44,7222222222...m/s=44,7m/s(Valor arredondado)
x=18,3m ( Distância horizontal percorrida pela bola.
Agora vamos tentar dar uma descrição física do que irá acontecer com a bola.
Ela terá um movimento parabólico descendente que será decomposto em dois eixos, um com a direção vertical (y ) e que terá características de um MUV e outro com a direção horizontal (x) seguindo as regras do MU.

a)Neste item foi pedido o tempo para que a bola percorra metade da distância horizontal, como eu já afirmei temos um MU no eixo x.
x=vo+at
Observe que inicialmente vyo=0 e vxo=161km/h=44,7m/s.
Ele pede a metade de x.
x/2 = vox.t
18,3/2=44,7.t
44,7t=9,15
t=9,15/44,7
t=0,204697986....s (Usando critérios de arredondamento para este valor teremos t=0,2050 s)
Este tempo é o tempo total do movimento e poderá ser aplicado ao movimento vertical ( Chamamos este conceito de Princípio de Galileu da Independência dos movimentos).

b) A segunda metade ele percorrerá gastando o mesmo tempo, isto é óbvio, a explicação é porque o movimento horizontal é uniforme, ou seja, o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais. Então a resposta é a mesma do item (a).

c) Para este item vamos utilizar o tempo total encontrado somando os resultados (a) e (b).
Ttotal=t1+t2
Ttotal=0,2050+0,2050
Ttotal=0,410 s
Agora vamos deduzir a altura que a bola vai cair em sua trajetória.
voy=0
yo=0
ay=g=9,8m/s²
y=H
t=0,410 s
Usaremos para a dedução a fórmula do MUV.
y=yo+voy.t+ayt²/2
H=0+0.0,0410+9,8.(0,410)²/2
H=0+0+4,9.(0,410)²
H=4,9.0,1681
H=0,82369 m

Para calcular o espaço percorrido na primeira metade de Ttotal façamos t=Ttotal/2:
t=Ttotal/2=0,205 s
Jogando este valor na função horária das posições teremos:
y1=0+0.0,205+4.9.(0,205)²
y1=4,9.0,042025
y1=0,2059225 m

d) Para este item é só subtrair y1 de H:
y2=H-y1
y2=0,82369-0,2059225
y2=0,6177675...m

e) Os espaços percorridos nos itens (c) e (d) não são iguais porque no eixo vertical y há um MUV e neste tipo de movimento o corpo percorre espaços desiguais em tempos iguais, pois à medida em que o corpo se desloca sua velocidade aumenta fazendo com que ele percorra espaços maiores em mesmos intervalos de tempo.

QUESTÃO DE CINEMÁTICA

Um avião "X" decola às 13hs e voa a uma velocidade constante de "X" km/h. Um avião "Y" decola às 13:30hs e voa na mesma rota de "X", mas a uma velocidade constante de Y km/h". Sabendo que Y>X o tempo, em horas, que o avião "Y", após sua decolagem, levará p/ alcançar o avião "X" é igual a:
a) 2/(x+y) horas
b) x/ (y-x) horas
c) 1/2x horas
d) 1/2y horas
e) x/2 (y-x) horas

Resolução:
A Mecânica Clássica nos dá a definição de velocidade no Movimento Uniforme pela expressão matemática:

V=S/t
A função horária das posições é dada por:
S=So+V.t

Vamos pegar os dados para os dois aviões, observando que a diferença entre os tempos é de 30 min=0,5 h. Neste intervalo de tempo o avião que saiu primeiro vai ter percorrido um certo espaço e estará em uma posição inicial à frente do avião que parte depois.
Da leitura da questão podemos ver que o avião que parte primeiro é o X, sua posição inicial será:
So=X.0,5h
So=0,5X
Agora podemos montar as equações para os dois aviões:
Avião X
S=So+Vt
Sx=0,5X+X.t
Sx=X.(0,5+t)
Sx=X(1/2 + t)

Avião Y
Sy=0+Y.t
Sy=Yt

Os aviões se encontram quando as posições Sx e Sy são iguais:
Sx=Sy
X(1/2 +t)=Yt
X/2 + Xt=Yt
Invertendo os membros:
Yt=X/2 + Xt
Yt-Xt = X/2
(Y-X)t = X/2
t = X/2(Y-X)
Resposta: Alternativa (e)

QUESTÃO DE DILATAÇÃO DOS SÓLIDOS

Com o auxílio de uma barra de ferro quer-se determinar a temperatura de um forno.Para tal, a barra, inicialmente a 20°C , é introduzida no forno.Verifica-se que após o equilíbrio térmico, o alongamento da barra é um centésimo do comprimento inicial .Sendo doze vezes dez elevada a menos seis o coeficiente de dilatação linear médio do ferro, determine a temperatura do forno.

Resolução:

Retirando os dados da questão teremos:

Lo=x (Comprimento inicial a To=20°C)
DeltaL=Lo/100=x/100 ( Variação do comprimento)
To=20°C
Tf=?????
@=12.10^ -6

É só jogarmos na fórmula das dilatações lineares:

DeltaL=Lo.@.(Tf-To)
x/100 = x.12.10^ -6.(Tf-20)
1/10² = 12.10^ -6.(Tf-20)
10-² /12.10^ -6 = Tf-20
1/12 . 10^ -2-(-6)=Tf-20
1/12.10^ -2+6 = Tf-20
1/12.10^ +4 = Tf-20
10000/12 = Tf-20
5000/6 = Tf-20
2500/3 = Tf-20
833,33333333...°C = Tf-20
Tf-20=833,333333333...°C
Tf=833,333333333...+20
Tf=853,333333...°C
Tf=853,33 °C Aproximadamente.

QUESTÃO DE ÓTICA (ESPELHOS PLANOS)

(Cesgranrio) Encostamos a ponta de um lápis sobre a superfície de um espelho de vidro. Verificamos que sua imagem dista da ponta 8,0 mm. Qual a espessura do vidro em mm?

Resolução:
O cálculo para esta questão seria o seguinte:
D= Distância da imagem à superfície refletora ( Película geralmente nitrato de prata AgNO3)
X= Distância do objeto à superfície refletora.
Teremos D+X=8 mm e D=X ( Por simetria sempre a imagem está a uma distância do espelho igual à distância da imagem ao espelho)
O vidro do espelho tem duas funções: Solidez do espelho e proteção à camada metálica de prata. Por detrás da prata é colocada tinta negra para absorver a luz que incide e não deixar "vazar" para a frente.
Teremos então que resolver o sistema:
D+X= 8mm
D=X
Queremos o X que é a distância da ponta do lápis(Objeto) ao espelho(Camada de prata).
X+X=8mm
2X=8mm
X=8mm/2
X=4mm.

QUESTÃO DE ONDULATÓRIA

Uma onda propaga se em uma corda A com a velocidade de 10m/s e comprimento de onda 20cm. Ao atingir a corda B, sua velocidade passa para 25m/s. Calcule o comprimento da corda B.

Resolução:
Sabemos da ondulatória que uma onda que se propaga através de um meio material é chamada de Onda Mecânica, uma das propriedades deste tipo de onda é que ao passar de um meio 1 para um meio 2 (Chamamos isto de refração) a frequência da onda não se altera.
A corda é um meio material que serve para a propagação da onda, cada corda será considerada como um meio diferente, logo a frequência da onda ao passar da corda 1 para a corda 2 não sofrerá mudança.
Corda 1
c=v/f
f=v/c
f1=v1/c1
f1=(10m/s)/20cm
f1=(10m/s)/0,2m
f1=100/2 hz
f1=50hz

Corda 2:
f2=v2/c2
f2=(25m/s)/c2
50hz=(25m/s)/c2
c2=25/50
c2=0,5m=50cm.

QUESTÃO DE ÓTICA (PROPAGAÇÃO RETILÍNEA DA LUZ)

Uma fonte luminosa puntiforme (forma de ponto) dista 0,5 m de um disco de 20 cm de raio. Qual é o raio da sombra que se forma sobre uma tela colocada a 1,5 m atrás do objeto?

Resolução:
Este tipo de questão causa erros quando a pessoa desconhece os princípios básicos da Física, muito cuidado.
A idéia correta aqui é usar o princípio de Cavallieri:

(h1/h2)² = A1/A2
Onde:
h1= Distância do disco à fonte luminosa
h2= Distância da sombra à fonte luminosa
A1= Área do disco
A2= Área da sombra projetada

h1=0,5m
h2=0,5+1,5=2m
A1=piR1²=pi.(20cm)²
A2=piR2²=pi.(Rs)²

(0,5/2)² = (pi.400cm²)/(pi.Rs²)
0,25/4 = 400cm²/Rs²
0,25Rs²=400cm².4
0,25Rs²=1600cm²
Rs²=1600/0,25 cm²
Rs= Raiz q. de 1600/0,25 cm²
Rs= 40/0,5 cm
Rs= 400/5 cm
Rs= 80 cm

QUESTÃO SOBRE COLISÕES

Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a 5 m/s, colide com outro movendo-se para a esquerda, a 2 m/s. Ambos têm 0,3 kg de massa. Calcular as velocidades finais:

a) se a colisão for perfeitamente inelástica;
b) se a colisão for elástica.

Resolução:
a) Para os choques perfeitamente inelásticos há conservação do momento e perda da energia cinética.
e=0 (Coeficiente de restituição)
m1=0,3kg
V1=5m/s
m2=0,3kg
V2=-2m/s

Qo=m1.V1+m2.V2
Qf=(m1+m2).Vconjunto

Qf=Qo
m1.V1+m2.V2 = (m1+m2).Vc
Como m1=m2:
m.V1+m.V2=2m.Vc
m(V1+V2)=2m.Vc
Vc=(V1+V2)/2
Vc=(5-2)/2
Vc=3/2
Vc=1,5m/s (Os dois corpos se deslocam juntos no sentido do corpo que tinha a maior velocidade)

b)Para colisões elásticas o momento se conserva e a energia cinética também e e=1:

Qo=m1.V1+m2.V2
Qf =m1Vf1 +m2.Vf2

m1.V1+m2.V2 = m1.Vf1+m2.Vf2
V1+V2 = - Vf1+Vf2
5-2= - Vf1+Vf2
- Vf1+Vf2=3

e=Vrelativa depois/Vrelativa antes
1=Vrd/Vra
Vrd=Vra
5+2=Vf1+Vf2
7 = Vf1+Vf2


Vf1+Vf2=7
-Vf1+Vf2=3

2Vf2=7+3
2Vf2=10
Vf2=10/2
Vf2=5m/s

-Vf1+5=3
- Vf1=3-5
- Vf1=-2
Vf1 = -2/-1
Vf1 = 1m/s
Observação: No 2º choque as bolas invertem seu movimento.

QUESTÃO DE ELETROSTÁTICA

Duas cargas puntiformes q1=4 microcoulomb e q2=-5 microcoulomb encontram-se separadas pela distância de 15cm.Considere o ponto A na metade dessa distância, o ponto B a 12cm de q1 e 9cm de q2. O trabalho necessário para levar uma carga de 2 microcoulomb do ponto A ao ponto B.

Resolução:
Para responder essa questão precisamos saber quais os valores dos potenciais nos dois pontos devido à presença das cargas q1 e q2.

Ponto A:
Va=Vq1+Vq2
Va=Kq1/d1a + Kq2/d2a
Va=9.10^9 [(4.10^ -6/7,5.10^ -2) + ( - 5.10^ -6/7,5.10^ -2)
Va=9.10^9 . ( -1/7,5 . 10^ -6+2)
Va=9.10^9 . -1/7,5 .10^ -4
Va= - 9/7,5 . 10^ 9-4
Va= - 1,2 . 10^ 5

Ponto B:
Vb=K.q1/d1b + K.q2/d2b
Vb=9.10^9 [ (4.10^ -6/12.10^ -2) + ( - 5.10^ -6/9.10^ -2)]
Vb=9.10^9 [ (4/12 . 10^ -4) - (5/9 . 10^ -4)]
Vb=9.10^9 . 10^ -4 (4/12 - 5/9)
Vb=9.10^ 9-4 (12-20)/36
Vb=9.10^ 5 .(-8/36)
Vb= - 9.8/36 .10^ 5
Vb= - 2 . 10^ 5

O trabalho para deslocar uma carga q de uma superfície equipotencial A até outra B é dado por:

Trab = q ( Vb-Va)
Trab = 2.10^ -6 [( - 2.10^ 5) - ( - 1,2 . 10^ 5)]
Trab= 2.10^ -6 ( 0,8 . 10^ 5)
Trab= 1,6 . 10^ -6+5
Trab= 1,6 . 10^ -1
Trab= 0,16 J.

QUESTÃO DE ELETROSTÁTICA

Oito gotas de chuva iguais e esféricas são carregadas individualmente com um potencial eletrostático V, se juntarmos as oito gotas qual será o potencial da nova gota?

Resolução:
Para resolver esta questão você terá que pensar em duas coisas:
1ª) A densidade de cargas para uma esfera carregada é a divisão entre a carga e o volume da esfera d=q/(4piR³/3).
2ª) O potencial elétrico de uma esfera carregada com uma carga q é dado por V=K.q/R.

Vamos agora ver cada situação:
1ª Esferas separadas:
Neste caso cada esfera terá um potencial V, uma carga q e um raio R.
A densidade de cargas para cada esfera é d=q/(4piR³/3) e o potencial para cada uma V=K.q/R.

2ª Esferas unidas:
Ao unirmos teremos uma única esfera de carga 8q com a mesma densidade das esferas separadas que vamos chamar de d´ para podermos calcular o raio da esfera grande que é a união das oito esferas.
d´=8q/(4piR³/3)

É só igualarmos as densidades para achar o novo raio em função do raio de cada esfera antes da união:

d=d´
q/(4piR³/3) = 8q/(4piR´³/3)
q/R³ = 8q/R´³
R´³ = 8R³
R´ = 2R

O novo potencial será encontrado utilizando-se o raio R´ e a carga 8q:
V´ =K.8q/R´
Mas R´=2R
V´=8Kq/2R
V´=4Kq/R
V´=4V.