DESAFIO 4 MATEMÁTICA RESOLUÇÃO

Para resolver este tipo de questão, o aluno deverá ter em mente que é sempre bom esquematizar a situação em um diagrama de árvore de possibilidades, vamos tentar:

Deu para entender? Deu, então expliquem-me porque não entendi nada.
Brincadeira, vamos agora lembrar da pergunta, qual a probabilidade condicional de que Marina não tenha escrito dado que Verônica não recebeu a carta? Para iniciarmos, vou explicar o que representa cada ramificação no desenho acima, comecemos da esquerda para a direita e de cima para baixo:

8/10 = Probabilidade de que Marina tenha escrito a carta.
2/10 = Probabilidade de que Marina estava com preguiça ou TPM e não escreveu a carta.
1/10 = Probabilidade de que o carteiro perca a carta ( O que acontece sempre em casa).
9/10 = Probabilidade de que o carteiro não perca a carta ( Milagre).
1 = Probabilidade de que V não receba, pois não foi escrita, viram de onde vem (2/10).
1 = Probabilidade de que V não receba, razão o correio perdeu a carta( Vejam ramificação).
9/10 = Probabilidade de que o carteiro entregue.
1/10 = Probabilidade de que o carteiro não entregue.
1 = Probabilidade de que V receba a carta de amor( Peraí, mas são duas mulheres).
1 = Probabilidade de que V não receba a carta, razão: Carteiro não entregou.

É nessas horas que eu acho a Matemática a ciência mais linda de todas, basta pensar um pouquinho e esquematizar com perfeição qualquer situação e chegamos a uma solução, não se trata de só memorizar é preciso imaginar uma rede de possíveis caminhos até chegarmos ao resultado exato.
Do exposto acima, observem que há quatro "finais" possíveis, que são:

1 = Não recebe pois apesar de Marina ter escrito o correio perdeu a carta.
1 = Recebe, pois Marina escreveu, o correio não perdeu, o carteiro entregou.
1 = Não recebe, Marina escreveu, o correio não perdeu, porém o carteiro não entregou.
1 = Não recebe, Marina não escreveu.

Agora, é só multiplicarmos as linhas até o final, sabendo que Verônica não recebeu a carta:

P1 = 8/10 * 1/10 * 1 ( 1º Final) ou P1 = 8/100
P2 = 8/10 * 9/10 * 1/10 ( 3º Final) ou P2 = 72/1000
P3 = 2/10 * 1 ( 4º Final) ou P3 = 2/10

Somaremos todas as partes acima, lembrando sempre de que a soma representa a probabilidade de que V não receba a carta:

Pt = P1 + P2 + P3
Pt = 8/100 + 72/1000 + 2/10
Pt = 352/1000

Como foi pedida a probabilidade condicional, lembremos a fórmula:

P( Não escreva/Não recebeu) = P ( ñ escreva Intersecção ñ receba) /P ( ñ receba)
P( Não escreva/Não recebeu) = (2/10) / (352/1000)
P( Não escreva/Não recebeu) = 2/10 * 1000/352
P( Não escreva/Não recebeu) = 200/352
P( Não escreva/Não recebeu) = 25/44

DESAFIO 4 FÍSICA RESOLUÇÃO

Vamos iniciar com uma descrição física sobre o evento, pelo princípio fundamental das trocas de calor uma quantidade de matéria que possui maior temperatura passa expontâneamente calor para uma outra quantidade de matéria que possui menor temperatura. Do enunciado da questão podemos observar que a água está a uma temperatura maior e o gelo, obviamente, está a uma temperatura menor, concluímos portanto que o fluxo de calor tem o sentido água para o gelo, ou seja, a água cede calor para o gelo, o que temos a fazer em seguida é quantificar para sabermos qual a quantidade máxima que o gelo precisa para derreter.
Agora listaremos as equações que iremos utilizar nos cálculos:

Qa = ma x ca x Delta T
Onde: ma = massa de água
ca = Calor sensível da água
Delta T = Variação da temperatura da água

A água sai de uma temperatura inicial de 20º C e vai até a temperatura final de 0º C aqui ela começaria a se solidificar e se transformaria em gelo.
Portanto para a água, teríamos:
Qa = 200g x 1 cal/g ºC x ( Tfinal - Tinicial)
Qa = 200 x 1 x ( 0 - 20)
Qa = 200 x 1 x (-20)
Qa = 200 x ( -20)
Qa = - 4.000 Cal
Podemos observar que a quantidade de água do problema cederá no máximo 4.000 cal, a partir daí a água diminuiria mais sua temperatura e se converteria em gelo.
Vamos agora ver que quantidade de calor a amostra de gelo deve receber para derreter, aí teremos contato com outra fórmula que é a fórmula do calor latente, que implica em mudança de estado físico sem alteração na temperatura:
Ql = mg x Lf
Onde:
mg = massa do gelo
Lf = Calor latente

Para o gelo:
mg = 800 g
Lf = 80 Cal/g

Logo, para derreter o gelo precisaria de uma quantidade de calor dada por:

Ql = 800g x 80 Cal/g
Ql = 64.000 Cal

Como o gelo precisa de 64.000 Cal para derreter completamente e a água poderá ceder no máximo 4.000 Cal, deduzimos que o gelo não derreterá todo, podemos calcular qual a massa de gelo que irá derreter, é só jogarmos 4.000 Cal ( Calor que a água passa, no máximo) na fórmula do calor de fusão do gelo:

4.000 = mg` x 80
mg` = 4.000/80
mg` = 50 g

a) Para responder ao item (a) é só lembrar que foi exposto acima que teremos água e gelo não derretido, como a temperatura máxima do gelo é de 0ºC, podemos concluir que a mistura terá água e gelo a 0ºC.

b) A massa final do líquido será dada pela massa inicial de água mais a massa de gelo que derreteu:
Mt = ma + mg`
Mt = 200 g + 50 g
Mt = 250 g

DESAFIO 4 - MATEMÁTICA

Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a carta é de 8/10. A probabilidade de que o correio não a perca é de 9/10. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 9/10. Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Marina não a tenha escrito?

DESAFIO 4 - FÍSICA Calorimetria

Misturam-se 200 g de água a 20º C com 800 g de gelo a 0º C. Admitindo-se que há troca de calor apenas entre a água e o gelo, pergunta-se:
a) Qual será a temperatura final do líquido?
b) Qual será a massa final do líquido?

DESAFIO 2 - Matemática RESOLUÇÃO

Trata-se de uma questão simples de P.G. infinita. Portanto tudo o que temos a fazer é separar os termos algébricos dos termos numéricos puros:
(a/3 + a/9 + a/27 + ...) + (- 1/4 - 1/8 - 1/16 - ...) = 2

Observem que a primeira soma entre parenteses é a soma de uma P.G. infinita, onde:

a1 = a/3
q = 1/3
Logo usaremos a fórmula S = a1 / (1-q):
S = a/3 dividido por ( 1-1/3)
S = a/3 dividido por 2/3
S = a/2

Para a segunda parcela, colocaremos em evidência o sinal negativo:

a/2 - ( + 1/4 + 1/8 + 1/16 - ...) = 2

O termo entre parenteses também é uma P.G., onde:

a1 = 1/4
q = 1/2

Logo, utilizaremos a fórmula da soma da P.G. infinita:

S = 1/4 dividido por ( 1 - 1/2)
S = 1/4 dividido por 1/2
S = 1/2

Pronto é só colocarmos as somas obtidas, não esquecendo o sinal negativo:

a/2 - 1/2 = 2
(a - 1) / 2 = 2
a - 1 = 4
a = 4 + 1
a = 5

DESAFIO 3 - Matemática RESOLUÇÃO

É só calcularmos as probabilidades para a urna I e para a urna II:
Para a urna I:
Pv = probabilidade de sair bola vermelha
Pv = 2/5

Pa = probabilidade de sair bola amarela
Pa = 3/5

Para a urna II:
Pv´= probabilidade de sair bola vermelha
Pv´= 4/11

Pa´= probabilidade de sair bola amarela
Pa´= 5/11

Pb´= probabilidade de sair bola branca
Pb´= 2/11

a) há duas possibilidades para a urna II:
1ª Que a bola tirada da urna I seja vermelha, neste caso a probabilidade de tirarmos a segunda bola vermelha será P = 2/5 * 5/12.
2ª Que a bola tirada da urna II não seja vermelha, então a probabilidade de ser vermelha será P = 3/5 * 4/12.

Temos então que somar as duas possibilidades:
Pt = 2/5*5/12 + 3/5*4/12
Pt = 10/60 + 12/60
Pt = 22/60
Pt = 11/30

b)aplicando o mesmo raciocínio para a bola amarela teremos:
1ª P = 2/5*5/12
2ª P = 3/5*6/12

Somando:

Ptotal = 2/5*5/12 + 3/5*6/12
Pt = 10/60 + 18/60
Pt = 28/60
Pt = 14/30
Pt = 7/15

c) Tentem fazer a última, a resposta é 1/6.

Desafio 3 Física

Esta é de nível superior.

A aceleração de uma partícula caindo sob a ação da gravidade e de uma força resistiva, como a resistência do ar, é dada por:

a = dv/dt = g – Bv

onde g é aceleração da gravidade e B uma constante, que depende da massa e da forma da partícula, e do meio em que ela se move. Suponha que a partícula comece a mover-se em t = 0 s.

a) mostrar que a equação pode ser escrita como df / f = - B dt, onde f = g – Bv

b) ache a integral indefinida de cada membro desta equação e resolva em v, usando o fato de ser exp ( ln f )=f. Ache a constante de integração em termos de g e de B a partir da condição inicial v=0 em t=0.

Einstein X Newton

Certa vez perguntaram a mim sobre quem eu considerava o maior físico de todos os tempos, respondi de imediato que na minha humilde opinião seria Sir Isaac Newton, físico inglês nascido no solar de Woolsthortpe em uma colina perto do rio Whitam, a característica marcante deste físico é que era capaz de fazer grandes descobertas e incrivelmente guardá-las para si mesmo, ou seja ele nunca quis promover-se e nem procurou obter vantagens com suas descobertas que com certeza foram inúmeras, na época de Newton havia uma questão proposta pela Royal Society Inglesa e que intrigava os pesquizadores na época. A pergunta era: " Qual a forma da trajetória descrita por um corpo em torno do sol?". Quando Edmund Halley indagou Newton sobre tal problema ele respondeu prontamente: "Ora, é uma elipse", Halley então perguntou como ele sabia disso, ao que Newton respondeu que tinha calculado. Lembro inclusive de ter lido que certa vez quando foi questionado sobre suas grandes descobertas ele desabafou: " Não sei como o mundo me julgará, sou como uma criança em uma praia encontrando conchas mais bonitas que as demais crianças, enquanto o grande oceano da verdade permanece misterioso a minha frente"

Por outro lado não entendo porque existe uma verdadeira adoração a Albert Einstein, quando este descobriu suas teorias, ele só conseguiu este feito devido ao esforço de físicos anteriores, inclusive Newton possuía uma característica marcante que era o fato de que quando precisava do aparelho matemático para utilizar em suas teorias, ele mesmo desenvolvia, por outro lado Einstein precisava de matemáticos para incrementar suas descobertas, tais como Hilbert, Poincaré, até mesmo uma de suas esposas, que se não me engano chamava-se Mileva Maric, até o acesso as literaturas especializadas na época de Newton eram mais raras, este se isolou em uma fazenda em Lincolnshire.
Continua...

DESAFIO 3 - Matemática

A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2 brancas. Uma bola é retirada ao acaso da urna I e colocada na urna II, em seguida uma bola é retirada da urna II ao acaso. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser:

a) vermelha? b) amarela? c) branca?

Quer uma sugestão?

Utilize o teorema da probabilidade total em conjunto com o teorema da multiplicação.

DESAFIO 2 - Matemática

Qual o valor de "a" na expressão : a/3 - 1/4 + a/9 - 1/8 + a/27 - 1/16 + a/81 - 1/32 + ... = 2.

DESAFIO 2 - Física RESOLUÇÃO

Para resolver esta questão primeiramente nos lembremos de que para espelhos esféricos côncavos, vale a seguinte regra:

f>0 e R>0 (Traduzindo: foco e Raio de curvatura positivos)

Também precisamos ter memorizado:

f= R/2

1/f = 1/p + 1/p´ ( Equação dos pontos conjugados ou equação de Gauss)

A = - p´/p= i/o
Onde:
A = Aumento linear transversal
p = Distância do objeto ao espelho
p´=Distância da imagem ao espelho
o = Tamanho do objeto ( Altura do objeto)
i = Tamanho da imagem ( Altura da imagem)

a) Retirando os dados da questão:

R = +24 cm
o = 4 cm
p = +48 cm ( Positivo porque o objeto é real ou seja fora do espelho)

Primeiro vamos achar o foco do espelho, é muito fácil:
f = R/2
f = +24/2
f = +12 cm

Portanto como possuímos f e p, temos condições de calcular o item (a) através da equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p´ ( lembrem-se de que é uma soma de inversos, logo usaremos o artifício postado em truques matemáticos neste site ou calcula-se através de M.M.C)

1/12 = 1/48 + 1/p´

Invertendo os mebros da equação:

1/48 + 1/p´ = 1/12

Isolando o termo 1/p´:

1/p´= 1/12 - 1/48
1/p´= 4/48 - 1/48
1/p´= 3/48
1*48 = 3*p´
3p´= 48
p´=48/3
p´= 16 cm ( Observem que p´ou seja a distância da imagem ao espelho deu um valor positivo, quer dizer que fisicamente a imagem é real pois está fora do espelho)

Temos então a primeira resposta.

b) Para caracterizar a imagem temos que dizer se ela é real ou virtual, direita ou invertida, reduzida ou ampliada.
Possuímos a primeira informação, a imagem é real, agora como saberemos se ela é direita ou invertida, reduzida ou ampliada?
Simples, para o primeiro caso, ou seja direita ou invertida é só olharmos para a expressão:
A = -p´/p

Temos duas situações, a saber, se A>0 a imagem é direita e do contrário se A<0 a imagem será invertida.

A = - ( + 16)/+48
A = - 1/3 ( Sinal negativo quer dizer imagem invertida)

Finalmente para sabermos se ela é reduzida ou ampliada, é só olharmos para o numerador e denominador:

A Numerador = 1 Denominador = 3, como i está no numerador e o está no denominador, proporcionalmente i será menor do que o, ou seja a imagem é menor do que o objeto, portanto imagem reduzida.

DESAFIO 2 - Física

Um espelho côncavo tem raio de curvatura igual a 24 cm. Um objeto de 4 cm de altura é colocado a 48 cm à frente desse espelho:

a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Que se pode dizer a respeito da natureza e tamanho dessa imagem?

DESAFIO 1 - Física

Uma partícula de massa 200 g realiza um MHS de amplitude A, em torno da posição de equilíbrio O. Considerando nula a energia potencial para a partícula em O, a elongação, para a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial vale?

DESAFIO 1 - Física RESOLUÇÃO

Resolução:

Iremos utilizar o princípio da conservação da energia.

-A _______O___x____+A

No ponto extremo do movimento ( Ponto A) o corpo só possui energia na forma potencial, uma vez que a elongação é máxima e a velocidade é nula pois se trata da inversão do movimento.
Teremos então Ea=KA
Em um ponto de elongação x qualquer a expressão da energia do sistema será dada por:
E = Kx²/2 + mv²/2
Como a energia se mantém constante em sistemas onde não há forças dissipativas, teremos:
Ea = E
Portanto:
KA²/2 = Kx²/2 + mv²/2 ( 1)

A energia cinética no ponto x terá de ser o dobro da energia potencial, isso equivale a fazer:

mv²/2 = 2 Kx²/2

Agora é só substituir 2 Kx na expressão ( 1), encontrando:

KA²/2 = Kx²/2 + 2 Kx²/2

Então:

KA²/2 = 3 Kx²/2

Simplificando teremos:

A² = 3x²

x² = A²/3

DESAFIO 1 - Matemática

Há um certo tempo atrás me foi proposta uma questão por um aluno, a solução dela é bem interessante, será que você conseguiria resolver?

Um comerciante percebeu que, a R$ 50,00 a unidade, vende 200 peças por dia. Notou, também, que aumentando um real no preço da unidade vende 2 peças a menos por dia. Sabendo que o custo por unidade é de R$ 40,00, determine:

a) o preço de venda máximo de cada peça;

b) o lucro total do comerciante e o número de peças vendidas nas condições do item a.