P.A.

A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 15 equipes no sistema de turno e returno ( a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo do adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema?

RESOLUÇÃO:

Vamos fixar a 1ª equipe, ela jogará 2 vezes contra 14 adversários, a equipe 2 jogará contra 13 duas vezes também, assim teremos

1ª equipe = 2x14 = 28 jogos
2² equipe = 2x13 = 26 jogos
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14² equipe = 2x1 = 2 jogos
15² equipe = 2x0 = 0 jogos

Observe que podemos tratar este exercício como uma PA de razão r=-3, termo inicial a1=28 e calcular a soma de seus termos:

Sn = ( a1+an).n/2
Sn = (28 + 0).15/2
Sn = 28.15/2
Sn = 14.15
Sn = 210 jogos na 1ª fase

Na fase final teremos duas partidas, então 210+2 = 212
Ao final do campeonato teremos 212 partidas.

OUTRA FORMA DE RESOLVER:
Podemos resolver também por Análise Combinatória usando os arranjos de n elementos tomados p a p:
A15,2=15!/13!
A15,2=15.14.13! / 13!
A15,2= 15.14
A15,2= 210

Agora somamos com as partidas finais (2):

210+2=212