Derivação

Um homem com 1,8m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão a 15m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9m do edifício?

Resolução:

Utilizando uma figura que não temos como expor aqui chegaremos à seguinte proporção:

15/S = (15-x)/1,8
15.1,8 =S.(15-x)
27 = 15S-Sx

Temos que efetivar dois passos:

1º) Achar o valor da sombra S relativa à posição x=9 m.

27 = 15S-S.9
27 = 15S-9S
27 = 6S
6S = 27
S = 27/6
S = 9/2 m

2º) Diferenciar a expressão 27 = 15S -Sx:

d(27)/dt = d(15S)/dt - Sdx/dt - xdS/dt
0 = 15dS/dt - (9/2).-1,5 - 9dS/dt
0 = 15dS/dt + 27/2 - 9dS/dt
0 = 6dS/dt + 27/2
6dS/dt = -27/2
dS/dt = - 27/12
dS/dt = - 9/4 m/s

Fácil não é?

Retas tangentes

Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2x²-1.
Os resultados serão 2 equações!

Resolução:

O método de resolver este tipo de questão é encontrar a derivada da função dada e que no presente caso é y= 2x²-1.

y´= d(2x²-1)/dx
y´= 4xt xt= Abscissa de tangência.

Observe que este y´será numericamente igual ao valor do coeficiente angular das duas tangentes ao gráfico de y=2x²-1 no ponto de tangência.

Achemos as tangentes:

4xt = (yt - 13)/(xt-4)
yt=2xt²-1

Formamos um sistema de duas equações, tudo o que temos a fazer é resolver tal sistema:

4xt=(2xt²-1-13)/(xt-4)
4xt²-16xt=2xt²-14
2xt²-16xt+14=0
xt²-8xt+7=0
Resolvendo por Báskara encontramos xt´=1 e xt´´=7 e como consequência teremos duas tangentes que passam pelo ponto (4,13).

m1=4xt
m1=4.1
m1=4

4=(y-13)/(x-4)
4x-16=y-13
y-4x+3=0 ( 1ª reta tangente)

m2=4.7
m2=28

28=(y-13)/(x-4)
28x-112=y-13
y-28x+99=0 ( 2ª reta tangente)

Análise Combinatória

Se eu tenho um Motel com 6 portas.
De quantas maneiras eu posso deixar meu Motel aberto?


RESOLUÇÃO:
Vejamos, designaremos as portas de A, B, C, D, E e F.
Para a porta A existem duas possibilidades aberta ou fechada.
Para todas as outras também.
Vc só precisa usar o PFC.

2X2X2X2X2X2=64 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)
64-1=63 formas de o motel estar aberto.


Poderíamos utilizar o princípio da indução finita para provar a validade do raciocínio exposto acima, pense em 3 portas A, B e C.

a f f
a a f
a a a
a f a
f a f
f a a
f f f
f f a

2X2X2=8 ( Formas de manter o motel aberto ou fechado)

Observe que há só uma forma de que o motel esteja fechado que é f f f, logo subtraímos 1 de 8 para que ele fique aberto.
8-1=7

OBS: Questão retirada de uma comunidade e que foi postada por um membro chamado Daniel, achei interessante e postei para vcs verem esta resolução.
Portanto os créditos da questão vão para o Daniel.

Polinômios

Sem efetuar a divisão, determinar a e b de forma que o polinômio f=(x+2)³+(x-1)³+3ax+b seja divisível por g=(x-2)².

Resolução:
O truque é calcular a raiz do polinômio divisor que no caso é g.
0=(x-2)²
x-2=0
x=2
Agora substitua em f o valor encontrado e iguale a zero:
f=0 para x=2
0=(2+2)³+(2-1)³+3.a.2+b
0=4³+1³+6a+b
0=64+1+6a+b
6a+b=-65 [1ª Equação]

Vamos agora desenvolver os dois polinômios:
f=(x³+3x.2²+3.x².2+2³)+(x³-3.x².1+3.x.1-1)+3ax+b
f=x³+12x+6x²+8+x³-3x²+3x-1+3ax+b
f=2x³+3x²+15x+3ax+7+b

g=x²-4x+4

Como o resto é zero ( Divisão exata) teremos que f=k.g:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=k.(x²-4x+4)

Observe que k é um polinômio da forma cx+d:
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=(cx+d).(x²-4x+4)
2x³+3x²+(15+3a)x+(7+b)=cx³-4cx²+4cx+dx²-4dx+4d
Retirando as igualdades entre os termos teremos:

c=2
-4c+d=3
15+3a=4c-4d
7+b=4d

Jogando o valor c=2 nas equações de baixo:
-4.2+d=3
15+3a=4.2-4d
7+b=4d

d=3+8 =>d=11
15+3a=8-4d=>3a=-7-4d
7+b=4d

Substituindo d=11:
3a=-7-4.11=>3a=-51
7+b=4.11

a=-51/3=>a=-17
7+b=44=>b=44-7=>b=37

Portanto a=-17 e b=37

Funções de 1º grau

Seja a função f, de R em R, dada por f(x)= Kx + t, em que k e t são constantes reais. Se os pontos (-1,3) e (0,-1) pertencem ao grafico f, então:

a) f é crescente, para todo x E(pertence) R
b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0
c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f
d) f(x) < 0 se x = -2
e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2

Resolução:

a) f é crescente, para todo x E(pertence) R

Primeiro substitua os valores de x e y pertencentes aos dois pares ordenados (-1,3) e ( 0,-1).

3=k.(-1)+t
e
-1=k.0+t

Teremos um sistema de duas equações, precisaremos descobrir os valores de k e t.
3=-k+t
-1=t

Sabendo o valor de t na segunda equação jogue na primeira:
3=-k-1
Invertendo os membros:
-k-1=3
k+1=-3
k=-3-1
k=-4
Portanto a função é definida por f(x)=-4x-1.
Para saber se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente vc só precisa saber se o número que acompanha o x ( Variável independente) é negativo ou positivo, vamos tomar como exemplo uma função da forma f(x)=ax+b, observe a regra:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Como na função dada a=-4, teremos que a função será sempre decrescente para todo x pertencente ao conjunto dos números reais, ok? Portanto a assertiva A está INCORRETA.

b) 3/4 é raiz da equação f(x)=0

Para conhecermos a raiz de uma equação de 1º grau temos que fazer y=0, como nossa função é expressa por y=-4x-1, é só substituirmos y por 0 para achar a raiz x.
0=-4x-1
4x=-1
x=-1/4
Como 3/4 é diferente de -1/4 concluímos que a assertiva B está INCORRETA.

c) o ponto (-10,41) pertencem ao grafico de f

Para saber se um dado par ordenado pertence ao gráfico de uma função precisamos substituir x ou y e encontrar o valor correto para a variável restante:

Se começarmos com x=-10:
y=-4x-1
y=-4.(-10)-1
y=+40-1
y=+39 ( Errado pois o valor de y deveria ser 41 para que a alternativa estivesse certa)

Se usarmos y=41:
y=-4x-1
41=-4x-1
4x=-1-41
4x=-42
x=-42/4 ( Errado pois o valor de x deveria ser -10 para que a alternativa estivesse certa)

Portanto a assertiva C está INCORRETA.

d) f(x) < 0 se x = -2

Aqui temos uma inequação de 1º grau, vamos substituir a expressão matemática da função f(x):

-4x-1<0
-4x<+1
Aqui precisamos tomar cuidado redobrado, a regra é que SEMPRE que multiplicarmos os membros de uma inequação por -1 temos que inverter o sinal da desigualdade:

(-1).-4x>-1.(+1)
+4x>-1
x>-1/4
Como -2<-1/4 concluímos que f(x)>0 para x=-2 logo a assertiva D está INCORRETA.

e) f(x) <=(menor igual) 0 se x = 1/2

Uma regra que sempre ensino a meus alunos é que estudem a vizinhança de pontos em torno da raiz da função que gera a inequação.

f(x)=-4x-1
Como vimos a raiz é -1/4
Neste caso nem precisaremos utilizar a raiz.

Substitua x= 1/2 em f(x) e observe o sinal resultante.

f(x)=-4x-1
f(1/2)=-4.1/2-1
f(1/2)=-4/2-1
f(1/2)=-2-1
f(1/2)=-3
A proposição afirmava que f(x) deveria ser igual ou MENOR que zero, o valor y=-3 é MENOR que zero logo a assertiva está CORRETA.

Probabilidade com eventos independentes

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Por definição eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um não interfere na ocorrência de outro, como exemplo tomemos o nascimento de um macho, para nascer uma fêmea ou outro macho não importa se nasceu macho ou fêmea no primeiro evento.
No problema acima temos bolas vermelhas e bolas azuis, o fato de sair vermelha no primeiro evento não impede que saia vermelha ou azul no segundo evento, logo dizemos que os dois eventos são independentes. Para eventos independentes é válida a seguinte fórmula P= p1Xp2. Portanto iremos primeiro calcular a probabilidade do primeiro evento, ou seja, sair bola vermelha na primeira retirada.
Temos 30 bolas ao todo e destas temos 10 vermelhas, logo a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha na primeira extração será:
P1=10/30
p1=1/3
Agora vamos calcular a probabilidade de sair bola azul na segunda extração, são 20 bolas azuis e 30 bolas no total:
p2=20/30
Finalmente vamos calcular a probabilidade dos dois eventos dada pela fórmula inicial:
P=p1Xp2
P=1/3 X 20/30
P=20/90
P=2/9

Fluxo Térmico

Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma vidro de área 1,5 m² e espessura 3.-³ m a temperatura externa é -5 ºC e a interna é mantida a 20 ºC , através da queima da carvão. qual a massa de carvão consumida no período de 12 horas para repor o calor perdido apenas pelas janelas?

Dados:
condutividade térmica do vidro= 0,72 Kcal/(h.m.ºC)
calor de combustão do carvão - 6.10³cal/g

Resolução:
Questão elementar envolvendo a fórmula Q/m = k.S.t.(T2-T1)/e.m
Primeiro colete os dados observando as unidades de medida.

Área S= 1,5 m²
Espessura e = 3.10-³ m
T2= 20° C
T1= -5°C
Tempo t = 12 h
k = 0,72 Kcal/(h.m.°C)=0,72.1000 cal/(h.m.°C)=720 cal/(h.m.°C)
Q/m = 6.10³ cal/g

A única unidade a ser mudada é a de Kcal para cal na grandeza física k, é só multiplicarmos por 1000 e eliminar o prefixo multiplicativo K.

Agora tudo o que temos a fazer é usar a fórmula Q/m=k.S.(T2-T1).t/e.m:

6.10³cal/g={720 cal/(h.m.°C).[1,5m²].[20°C-(-5°C)]}.12h /3.10-³m.[m]<--Massa m
6000=720.1,5.25.12/0,003m
6000=324000/0,003m
6000.0,003m=324000
18m=324000
m=324000/18
m=18000 g ou m=18000/1000 Kg ou m=18 Kg

Como a casa tem 5 janelas teremos que ter uma massa de carvão igual a cinco vezes o resultado encontrado pois a área é de 5 vezes 1,5 m², então a resposta final será:
M=5.18Kg
M=90 Kg

A FÍSICA E O MÉTODO EXPERIMENTAL

A Física é uma ciência que procura descrever os fenômenos da natureza e prever resultados em prol da humanidade. É por esta razão que chamamos a Física de ciência exata. Mas como prevemos resultados futuros? Simples, através do método científico que basicamente se dá através de observações e coleta de informações, a partir daí podemos analisar as respostas e procurar adequar a uma fórmula.
A grosso modo podemos dizer que existem duas espécies de físicos, o teórico e o experimental, o teórico é responsável por criar equações que expressem um determinado problema físico, ou seja, este se preocupa em harmonizar a Física com a Matemática, por outro lado o físico experimental é aquele que fará experiências e listará os resultados obtidos fornecendo assim informações preciosas ao ramo teórico.
Houve diversos físicos que dedicaram-se as duas áreas, tanto à teórica quanto à experimental.
Nem sempre é fácil expressar um fenômeno natural através de fórmulas pela simples razão de que há muitas variáveis envolvidas na situação e como consequência sempre haverá uma margem de erros nas medições, chamamos isto de grau de incerteza.
Posso citar como exemplo um corpo em queda livre sofrendo atração gravitacional, se considerarmos todas as influências que o corpo sofrerá em seu movimento o problema físico tornar-se-ia extremamente complexo então desconsideramos certas condições como a resistência do ar, o movimento de rotação terrestre, a atração gravitacional de outros corpos, etc...
Os fenômenos naturais são classificados em aleatórios e determinados, qual a diferença?
O fenômeno aleatório é aquele que não podemos prever futuros resultados mesmo coletando informações, um bom exemplo seria o lançamento de um dado, por mais que anotemos os resultados de cada lançamento não saberíamos prever com certeza eventos futuros.
Estes eventos estão ligados ao acaso daí provém o nome aleatório, incerto, os ramos da Matemática responsáveis por seu estudo são a Estatística e a Teoria das Probabilidades.
O evento determinado sob certas condições é aquele cuja resposta podemos obter com um certo grau de precisão como já afirmei antes desconsiderando certas influências.
Um exemplo seria a ebulição de uma determinada massa de água em uma chaleira, sabendo a potência térmica da fonte de calor e conhecendo o ponto de ebulição da água, a temperatura inicial, a massa, etc... poderíamos prever em quanto tempo a água transformar-se-ia em vapor.
A dificuldade maior de um físico ao formular a equação de um problema natural é harmonizar as constantes e variáveis.
Gostaria de que ficasse bem claro a vocês alunos a seguinte idéia sobre equações matemáticas, é fundamentalmente importante que saibam interpretar uma equação, vamos exemplificar inicialmente com a função horária das velocidades que descreve o movimento uniformemente variado.
V = Vo + a.t
Observem que em Matemática dizemos que a equação ou fórmula acima possui dois membros:
1º Membro=> V
2º Membro=> Vo+a.t
O primeiro membro é constituído de um só monômio ( Chamado também de termo algébrico) que é V ( Velocidade determinada em um instante t).
O segundo membro da equação possui dois monômios ( Termos) que são Vo e a.t onde:
O primeiro termo é a velocidade inicial do corpo móvel Vo.
O segundo termo é o produto entre a aceleração (a) e um instante qualquer (t).
Vamos agora dar um exemplo numérico ou seja com valores determinados para Vo e a.
Imaginem um móvel cuja velocidade inicial é 20 m/s e a aceleração seja 2m/s² ( Falarei em outro tópico sobre as unidades de medida em Física). Podemos prever qual sua velocidade em um instante qualquer pois conhecemos sua velocidade inicial, sua aceleração e possuímos a fórmula que prevê os resultados futuros.
Se quisermos saber qual a velocidade da partícula no instante t=3s só teríamos que substituir na fórmula.
V(t)=20+2t
V(3s)=20+2.3
V(3s)=20+6
V(3s)=26m/s

Probabilidades

As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que menos um marque um gol?
Resposta: 49/50

Resolução:

Podemos resolver de forma rápida se pensarmos da seguinte forma ( Usando o teorema da probabilidade total):
A SOMA de todas as probabilidades é igual a 1.
Queremos que ao menos um jogador marque um gol, logo teremos que subtrair da unidade as probabilidades de A, B e C não marcarem gols ou seja marcarem zero gols. Mas como faremos isto? Simples, subtraia as probabilidades individuais de marcarem gols, vamos ao cálculo.
Pamarcar+Panãomarcar=1
2/3+Pañm=1
Pañm=1-2/3
Pañm=1/3

Pbmarcar+Pbnãomarcar=1
4/5+Pbñm=1
Pbñm=1-4/5
Pbñm=1/5

Pcmarcar+Pcnãomarcar=1
7/10+Pcñm=1
Pcñm=1-7/10
Pcñm=3/10

Pa,b e c não marcarem=1/3.1/5.3/10=1/50 ( Aqui usamos outro teorema, o das multiplicações de eventos independentes, pois os eventos a não marcar, b não marcar e c não marcar são independentes entre si)

Agora façamos a soma:

Paomenos1gol+Pa,b e c não marcarem=1
Pam1g+1/50=1
Pam1g+1/50=1
Pam1g=1-1/50
Pam1g=(50-1)/50
Pam1g=49/50

Fluxo de calor

Um vidro plano, cujo coeficiente de condutibilidade térmica é igual a 0,00183 cal/ (s.cm.ºC), tem uma área de 1,000 cm² e espessura de 3,66 mm. sendo o fluxo de calor por condução através do vidro igual a 2,000 calorias por segundo, calcule a diferença de temperatura entre suas faces.

Resolução:

A expressão matemática para o fluxo de calor é dado por Q/t = k.A.(Text-Tint)/e, onde:

k=coeficiente de condutibilidade térmica do material=0,00183
(Text-Tint)= Diferença de temperatura entre as faces=x=????
Q/t = Quantidade de calor que atravessa a superfície na unidade de tempo=2000
A= Área da superfície=1000
e= Espessura da placa=3,66
Analisando as unidades verificamos que só precisaremos converter 3,66 mm para cm, só divida por 10
3,66 mm = 3,66/10 cm = 0,366 cm
Agora podemos substituir todos os dados:
Q/t=k.A.(Text-Tint)/e
2000=0,00183.1000.(Text-Tint)/0,366
2000=1,83(Text-Tint)/0,366
2000.0,366=1,83.(Text-Tint)
2.366=1,83(Text-Tint)
732=1,83(Text-Tint)
1,83.(Text-Tint)=732
(Text-Tint)=732/1,83
(Text-Tint)=73200/183
(Text-Tint)=400°C

Ótica Geométrica

Um Objeto é colocado a 10 cm de um espelho côncavo de distância focal igual a 20 Cm A imagem sera:
a) do tamanho do objeto,plano focal
B)real do mesmo tamanho do objeto
c)virtual,maior que objeto
D)virtual,que o objeto

Resolução:

Vamos retirar os dados da questão.
p=10 cm [Distância do objeto ao espelho]
f=20 cm [Distância focal do espelho positiva pois o espelho é côncavo]
p´=?
i=?
Iremos utilizar primeiro a equação dos pontos conjugados, também conhecida por equação de Gauss:
1/f = 1/p + 1/p´
1/20 = 1/10 + 1/p´
1/10 + 1/p´ = 1/20
1/p´=1/20-1/10
1/p´=1/20-2/20
1/p´=-1/20
p´= -20 cm
Como a imagem tem abscissa negativa concluímos que ela será virtual [Está dentro do espelho]
Para saber se é ampliada ou reduzida em relação ao objeto vc precisa usar a fórmula do aumento linear transversal:
A= -p´/p
A= -(-20cm)/10cm
A=20cm/10cm
A=2
Mas A=i/o, logo:
i/o=2
i=2.o
A fórmula acima nos diz que o tamanho da imagem i é duas vezes o tamanho do objeto o.

Eletrodinâmica

Considere uma lâmpada ligada à tomada elétrica de uma residência. Verifica-se que um trabalho de 44J é realizado sobre uma carga de 0,20C que passa, através da lâmpada, de um terminal a outro desta tomada.
a) Qual é a diferença de potencial entre os terminais da tomada?
b) Um aparelho é ligado a esta tomada durante um certo tempo, recebendo 1.100J de energia das cargas elétricas que passam através dele. Qual é o valor total destas cargas?

Resolução:

a) Use a seguinte fórmula: Trab=P.tempo, onde P é a potência elétrica.
Sabemos que P=U.i e ainda que i=q/tempo, substituiremos i na expressão P=U.i.
P=U.q/tempo
Agora joguemos P na expressão do trabalho:
Trab=(U.q/tempo).tempo
Simplificando o termo tempo teremos:
Trab=U.q
Agora é só jogar os valores:
44 J = U.0,2 C
44/0,2 = U
U = 44/0,2
U = 220 Volts

b) Como já sabemos a DDP fica mais fácil.
U = 220 Volts
Energia= 1100 J
q=????

Energia=U.q
1100=220.q
220q=1100
q=1100/220
q=11.100/11.20
q=100/20
q=5 C

Calorimetria

O Um forno de microondas fornece 100cal/s durante 50s para 200g de água, que está inicialmente a 20°C (c=1,0cal/g °C). Considerando que toda a energia fornecida pelo forno é usada para aquecimento da água, qual é a temperatura final da água?

Resolução:

Foram fornecidas as seguintes informações:
Potência térmica P= 100 cal/s
Tempo t = 50 s
Massa de água m = 200 g
Temperatura inicial da massa de água Ti= 20 °C
Calor específico da água c = 1 cal/g.°C

Primeiro calcule o calor recebido pela água, use a expressão Q= P.t:
Q=100cal/s . 50 s
Q= 5000 cal
Agora use a fórmula do calor sensível:
Q = m.c.(Tf-Ti)
5000 cal = 200 g.1 cal/g°C . (Tf - 20°C)
Por simplicidade ignore as unidades de medida:
5000 /200.1 = ( Tf - 20)
5000/200 = Tf - 20
50/2 = Tf - 20
25 = Tf - 20
Invertendo os dois membros sem trocar sinais:
Tf - 20 = 25
Tf = 25+20
Tf = 45°C

Física de partículas elementares

O elétronvolt é uma unidade de medida de energia aplicada a partículas elementares da matéria. A equivalência é 1 elétron volt = 1,60217646x10^-19 joules. Quando Ek é a energia cinética em eV e v é a velocidade em m/s, prove que a relação entre essas duas grandezas vale Ek=2,843x10^-12 v^2 para o elétron e Ek=5,228x10^-9 v^2 para o próton.

Resolução:
Para resolver esta vc precisa saber o valor tabelado da massa do elétron e da massa do próton.
mp=1,67.10^-27 kg
me=9,11.10^-31 kg
Vou considerar o caso em que as partículas não são relativísticas.
A energia cinética do próton seria E=1,67.10^-27.v²/2
E=0,835.10^-27.v² ( Isso em joules)
Façamos uma regra de três:
1eV ------ 1,60217646x10^-19 joules
Ep -------- 0,835x10^-27.v² joules

Ep/1eV = 0,835x10^-27.v²/1,60217646x10^-19
Ep/1eV = 0,521166064.10^-27/10^-19
Ep/1eV = 0,521166064.10^-27-(-19)
Ep/1eV = 0,521166064.10^-27+19
Ep/1eV = 0,521166064.10^-8
Ep/1eV = 5,21166064.10^-9
Ep= 5,21166064.10^-9 eV

O cálculo para o elétron é semelhante, somente use a massa do elétron.
1eV ------- 1,60217646x10^-19 joules
Ee --------- (9,11x10^-31.v²)/2

Ee/1eV = 4,555.10^-31/1,60217646x10^-19
Ee/1eV = 2,843007692.10^[-31-(-19)]
Ee/1eV = 2,843007692.10^-12
Ee = 2,843007692.10^-12 eV

ELETROSTÁTICA

Considerando um ponto do infinito como referencial, o potencial elétrico de uma esfera condutora no vácuo (k0=9.10^9 N.m²/C²) varia com a distância ao seu centro, segundo o gráfico abaixo.
A capacidade elétrica dessa esfera é 10 pF. Determine os valores de 'a' e 'b' mostrados no gráfico.

Resolução:
Extraindo os dois pontos do gráfico teremos:
V --- d
b --- a
60 -- 15

Substituindo na expressão matemática que relaciona o potencial elétrico V a distância d teremos:
b=Kq/a
e
60=Kq/15 ( Aqui descobriremos o valor da carga q)
60=9.10^9q/0,15
60.0,15=9.10^9q
9=9.10^9q
1/10^9=q
q=10^-9 C
Observe que o potencial V no intervalo de 0 até 'a' mantém-se constante, quer dizer que o raio da esfera é a.
Para uma esfera de raio a, teremos um potencial dado por V=Kq/a e sabemos ainda que C=q/V ou V=q/C logo:
q/C=Kq/a
a/C=K
a=CK
a=10.(10^-12).9.10^9
a=90.10^(-12+9)
a=90.10-³
a=0,09 m
Para encontrar b substitua a em b=Kq/a:
b=9.10^9.10^-9/0,09
b=9/0,09
b=100V

PG Infinita

Qual o valor de "a" na expressão : a/3 - 1/4 + a/9 - 1/8 + a/27 - 1/16 + a/81 - 1/32 + ... = 2 ?

Resolução:
Observe que o primeiro membro da equação pode ser organizado assim:
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)+(-1/4-1/8-1/16-1/32-....)=2
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)-(1/4+1/8+1/16+1/32+....)=2
Temos duas P.G. infinitas, tudo o que temos a fazer é achar a soma para cada uma delas.
Vamos usar a fórmula Sn= a1/(1-q) em cada uma das progressões entre parênteses.
Primeiro para a/3,a/9,a/27,a/81,.....:
a1=a/3
q=a2/a1 => q=(a/9)/(a/3) [Aqui inverteremos a fração de baixo e multiplicaremos pela de cima]
q=a/9 . 3/a
q=3a/9a
q=1/3
Pronto, temos a1 e q para a primeira soma entre parênteses.
S1ª=(a/3)/(1-1/3)
S1ª=(a/3)/(2/3)
S1ª=a/3.3/2
S1ª=3a/6
S1ª=a/2
Iremos agora fazer de modo semelhante com a segunda soma entre parênteses:
1/4,1/8,1/16,1/32,....
a1=1/4
q=a2/a1
q=(1/8)/(1/4)
q=1/8.4/1
q=1.4/8.1
q=4/8
q=1/2
Substituindo teremos:
S2ª=(1/4)/(1-1/2)
S2ª=(1/4)/(1/2)
S2ª=1/4.2/1
S2ª=1.2/4.1
S2ª=2/4
S2ª=1/2
Agora vamos pegar as duas somas e substituir na equação inicial:
(a/3+a/9+a/27+a/81+....)-(1/4+1/8+1/16+1/32+....)=2
(a/2)-(1/2)=2
(a-1)/2=2
a-1=2.2
a-1=4
a=4+1
a=5

Hidrodinâmica

Durante uma forte ventania, casas podem ser destelhadas devido a diferenca de pressao entre o interior e o exterior. Considere que a densidade do ar seja de 1,2kg/m³, que a velocidade do vento seja de 72km/h e que a aceleração da gravidade seja 10m/s². Nessas condições a força exercida em um telhado de 10 m² de área do interior para o exterior da casa, é igual ao peso de quantas pessoas de massa igual a 60kg?

Alternativas:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

Resolução:

Utilize o Teorema de Bernoulli da Hidrodinâmica:

P1+d1.g.h1+d1.v1²/2 = P2+d2.g.h2+d2.v2²/2
O nível 1 será a parte superior do telhado.
O nível 2 será a parte inferior do telhado.

P1=????
d1=1,2 kg/m³
h1 aproximadamente igual a h2 ( Estamos supondo desprezível a espessura do telhado, logo os termos d1gh1 e d2gh2 cancelar-se-ão)

P1+d1v1²/2 = P2+d2v2²/2
Como o ar no interior da casa está a uma velocidade quase nula faremos v2=0.
P1+d1v1²/2 = P2+0
P1+d1v1²/2 = P2
P2-P1=d1v1²/2
Sabemos que P=F/Área, logo:
F/Área = d1v1²/2
F= (d1v1²/2).Área
Transforme v1 de km/h para m/s, vc terá 20m/s.
F= (1,2.20²/2).10
F= 0,6.400.10
F=6.40.10
F=2400 N
Para traçar comparação precisamos calcular o peso de uma pessoa de 60 kg:
Peso=m.g
Peso=60.10
Peso=600 N
Agora é só fazer uma regra de três:
1 pessoa ------- 600 N
x pessoas------ 2400 N
x/1 = 2400/600
x=4 pessoas
Alternativa (b)

Teoria da Relatividade Restrita

O pêndulo de um relógio necessita de 2s para completar uma oscilação (1s para cada ida ou vinda). Qual será o período desse pêndulo visto por um observador que se move com velocidade 0,8c em relação ao referencial em que está fixo o pêndulo?

Solução:

t= ???? (Período para um observador em movimento com v próxima à velocidade da luz)
T=2s (Período para um observador em repouso)
v=0,8c

Use a transformação de Lorentz para a dilatação dos tempos:

t/T = Raiz quadrada de [1- (v/c)²]

t/2s = RQ de [ 1-(0,8c/c)²]
t/2s = RQ de [1-(0,8)²]
t/2s = RQ de [1-0,64]
t/2s = RQ de [0,36]
t/2s = 0,6
t = 0,6.2s
t = 1,2 s

Eletrostática

O trabalho realizado pela força de interação elétrica, para deslocar uma carga de 4C do ponto A ao infinito do campo é de 60J. Determinar o potencial elétrico no ponto A.

Solução:

Trabalho= Variação da energia potencial
Trabalho = Uinfinito - Ua
60 J = 0 - Ua ( Truque: O potencial no infinito é nulo)
60 J = -Ua
Ua = - 60 J

Eletrostática

Determine a energia potencial elétrica de uma carga de 8x10-² C, localizada a 10 cm de uma carga de 4uC, no vácuo.

Solução:
A expressão da energia potencial elétrica de uma carga q1 em relação a uma carga q2 a uma distância r entre as cargas é dada por:
U= K.q1.q2/r
Dados:
K=9.10^9 N.m²/C²
q1=8.10-² C
q2=4.10^-6 C
r = 10 cm= 10/100 m = 10-¹m
Substituindo teremos:
U = 9.10^9 . 8.10-².4.10 ^ -6/10 -¹
U = (9.8.4).10elevado(9-2-6+1)
U = 288.10elevado(2)
U = 288.100
U = 28800 N.m(ou J)

O PÉSSIMO SERVIÇO DA REDE CELPA

Caros amigos (as),
A situação desesperadora em que se encontra o nosso país e em especial o nosso estado é culpa do próprio povo, não digo isto somente no tocante à péssima escolha que temos quando votamos em um candidato errado para nos representar nas casas legislativas ou na chefia do poder executivo, o povo brasileiro apresenta uma dicotomia ímpar em vários aspectos. Não é raro observamos um cidadão que professa a fé cristã acreditar em cultos afro-brasileiros ou um indivíduo cristão acreditar em espiritismo, ou seja, no Brasil há um sincretismo religioso exarcebado, o brasileiro de uma forma geral acredita em palavras bonitas e difíceis, talvez isso se deva ao fato da pouca instrução que o brasileiro possui, recordo-me de quando comecei a absorver conhecimentos, quando ainda era um estudante do primário, tudo o que eu lia passava a acreditar, demonismo, espiritismo, bruxaria, etc..., com o tempo fui deixando de acreditar em tudo o que lia e passei a ter um senso crítico de todas as idéias expostas a mim, agora sou cético em relação a tudo.
A prestação de serviços públicos de uma forma genérica está um caos, não é só a Celpa, Oi (Telemar), Cosanpa, etc...
Lembro-me da época em que a CELPA era uma estatal, existiam interrupções de energia, o que é normal até porque a fiação fica exposta, passível de que um galho de árvore caia em cima ou que um garoto empinando um papagaio faça a linha esbarrar nos fios elétricos ou ainda um raio que o parta, porém havia mais respeito com o cidadão do que hodiernamente, porque como afirmou um colega acima os atendentes dão mil e uma desculpas e acredito que eles são instruídos neste sentido.
Moro em Ananindeua, a rua em que resido tem constantes interrupções (É revoltante você chegar cansado do serviço, ligar o computador para ver um filme, escutar música ou acessar a internet e puff, tudo no escuro e observar que nos outros quarteirões a energia está a pleno vapor) e sempre que ligamos para reclamar ouvimos as mesmas palavras, e o que é pior já ficamos aqui em casa umas três ou quatro vezes sem energia no período de 19:00 as 08:00, foram queimados em casa um computador, um televisor de 29 polegadas, ventiladores, ferros de passar e outros aparelhos. A rede celpa assume sua culpabilidade?. É óbvia a resposta.
Quando o usuário atrasa por pouco tempo o pagamento eles cortam o fornecimento de forma célere e intempestiva. Uma das contas da rede celpa não chegou aqui em casa porque o nosso “bom” amigo dos correios chamado carteiro deve ter errado o endereço e entre tantas contas não tomei conhecimento deste fato em tempo hábil, resultado, ganhei um “corte de luz”, hoje nem espero mais (Até porque acho que o carteiro esqueceu que minha casa existe), entro no site e imprimo o boleto.
A Oi/Telemar é outra irresponsável que temos que aturar até pelo maldito monopólio, apelar para agências reguladoras (ANEEL, ANATEL, BORDEL ou seja lá o que for) não funciona, elas são coniventes com a “safadeza”. Tenho uma linha que fica muda simplesmente do nada, ao entrar em contato com a retrocitada empresa afirmaram que podia ser o aparelho (Apesar de o mesmo ser novinho em folha), o técnico veio em minha residência e localizou o defeito, era em uma bendita caixinha, pois bem, substituiu a tal e o telefone voltou a dar sinal de vida, porém enquanto estou digitando estas palavras já “emudeceu novamente”.
Outro monopólio desta famigerada empresa é o tal de velox, a resposta de sempre é:
-“A sua central não suporta o velox”
Até quando os nossos direitos constitucionais vão ser teóricos? E a estória (E não história, porque só pode ser piada) da igualdade? Sim porque a Oi fornecendo um serviço de internet com acesso ilimitado somente a alguns está gerando uma desigualdade. Tivemos de solicitar outra linha de telefone (Tirada de outra localidade) para termos o referido serviço, é um abuso.
Eu sou empregado público, sempre primei pelo bom atendimento ao cliente e digo uma coisa a situação da prestação de serviços públicos está assim em parte pela maldita privatização, qual o interesse de um governador ou presidente privatizar um serviço público? Eu vos dou a resposta: Interesses lucrativos (Embolsar parte do dinheiro da venda ou por uma comissão).
Enquanto vos falo a energia está oscilando, a lâmpada ofusca e ora fica com luz de pouca intensidade ora baixa, o pior é que a porcaria do atendente desta imundície que é a rede celpa ainda disse que tinham que atender chamados mais antigos. E a situação caótica perdura desde as 18:30 do dia 12/07/2009 até agora.
Não sou contra a privatização somente pelo fato de ser empregado público, até porque já trabalhei na Caixa Econômica Federal, Banco do Brasil, COHAB, CTBel, COSANPA, TJE, Corpo de Bombeiros, etc... e não gosto de me prender a lugar algum, sou contra a privatização porque poucos lucram com a venda de um patrimônio que é nosso, do povo, os governantes são transitórios, já as “burradas” que eles fazem são quase irreversíveis, lembram-se da Vale do rio doce, pois é, está aí dando lucro para empresas estrangeiras, quando o poder público quer vender um patrimônio do povo simplesmente abandonam, sucateiam e assim a empresa pública não prospera, vem a inevitável falência( Algo semelhante está acontecendo com a COSANPA, onde muitos usuários de baixa renda pagam somente uma taxa fixa pelo consumo).
Lembre-mo-nos de que só damos valor à alguma coisa depois que perdemos, do contrário teremos por aí uma porção de celpas, ois e vales.

Fatos sobre ateísmo

Os ateus, pessoas que não crêem em deuses, são vistos por algumas pessoas como imorais, satânicos e perversos, porém esse pensamento é pequeno em relação à riqueza da ideologia ateísta.
O ateísmo foi e é formado por uma imensa diversidade de pensadores que às vezes só compartilham a crença de que deus não existe, e que é guiada por motivos políticos, científicos ou filosóficos, por exemplo, os biólogos evolucionistas que crêem na impossibilidade de existir um deus como na visão criacionista ou libertários que vêem deus como uma invenção para impor um sistema de governo para os povos.
A relação do ateísmo com o satanismo é igual ao relacionamento seu relacionamento com o islamismo, cristianismo, judaísmo, budismo, calvinismo, espiritismo e todas as outras religiões que existem ou existiram no mundo, ou seja, para o satanista satã é deus, logo para nós ateus satã não existe, também não cremos em fantasmas, espíritos, reencarnação, maldições e poções mágicas.
O ateísmo não é uma religião, associação, seita, partido político, ou grupo armado e nem há nenhuma uniformidade entre os ateus, o ateísmo atinge toda sorte de pessoas, por exemplo, gays, heteros, vegetarianos, onívoros, anarquistas, nazistas, nacionalistas, punks, eruditos, ricos, pobres e toda uma enorme quantidade de grupos e classes que compartilham apenas uma característica em comum que é a descrença em deus, por isso existem pessoas boas e más nesse meio. Pode haver organizações para reunir os ateus, todavia elas não agrupam todos os ateus por maior que elas sejam, e às vezes elas podem atrair apenas um tipo de ateu.
Por fim, os ateus são pessoas como todas as outras que tem desejos, sonhos, medos, que sente alegria, tristeza, amor, ódio e podem ser indivíduos bons ou maus, e como todo o grupo não pode ser julgado através de generalizações, pois alguns se guiam, ainda, pela moral religiosa outros por pensamentos de respeito ao próximo.

Autor: Bruno Rufino.

CINEMÁTICA

Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de 60 m/s. Três segundos depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de 80 m/s. Considerando g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar, calcule:

a) o tempo gasto pela segunda esfera até encontrar a primeira e a altura do encontro
b) as velocidades de cada esfera no momento do encontro.
Exprima os resultados em m/s e km/h.

RESPOSTAS:
A) 2,7 s e H ~180m
B) V1 = 3m/s e V2 = 53m/s

RESOLUÇÃO:

Em primeiro lugar descreva o que acontecerá com a esfera 1 em três segundos, isto é, defina sua nova velocidade inicial e também sua nova posição inicial.

V(t)=60-10t
V(3s)=60-10.3
V(3s)=60-30
V(3s)=30m/s [Esta será a nova velocidade inicial da esfera 1]

S(t)=0+60t-10t²/2
S(3s)=60.3-5.3²
S(3s)=180-5.9
S(3s)=180-45
S(3s)=135m [Esta é a nova posição inicial da esfera 1]

A nova função horária das posições para a esfera 1 será:
S1(t)=135+30t-10t²/2
S1(t)=135+30t-5t²

Vamos agora montar a função horária da esfera 2:
S2(t)=0+80t-10t²/2
S2(t)=80t-5t²

Igualamos agora as duas posições para determinar o instante do encontro:
S1(t)=S2(t)
135+30t-5t²=80t-5t²
Cancelando -5t² nos dois membros da igualdade teremos:
135+30t = 80t
Invertendo os dois membros:
80t=135+30t
Agora isolemos os monômios que possuem a variável t no primeiro membro:
80t-30t=135
50t=135
t=135/50
t=2,7 s ( Instante em que ocorrerá o encontro)

Para saber a altura basta substituir t=2,7 s em qualquer das equações horárias das posições, por simplicidade peguemos S2(t):
S2(2,7s)=80.2,7-5.(2,7)²
S2(2,7s)=216 - 36,45
S2(2,7s)=179,55 m

b) Para calcular as velocidades de cada esfera no instante t=2,7 s faça:

V1(t)=30-10t
V1(2,7s)=30-10.2,7
V1(2,7s)=30-27
V1(2,7s)=3m/s

V2(t)=80-10t
V2(2,7s)=80-10.2,7
V2(2,7s)=80-27
V2(2,7s)=53m/s

A ignorância de religiosos fanáticos.

Sei que consoante as leis hodiernas temos liberdade de pensamento, porém quero externar minha profunda decepção em relação aos seres humanos que ainda acreditam em seres fictícios como deus, jesus e o diabo. Todo mundo é livre para crer ou não em qualquer coisa, observei que diversas pessoas vêm aqui postar bobagens como "deus te abençoe" ou "jesus te ama", um deus imbecil, egocêntrico, megalomaníaco, imperfeito e absurdo que segundo a bíblia tem duas faces, eu quero que vá para a PQP.
Você crê em deus? Ótimo para você. Não tente empurrar a tolice em que você acredita para outras pessoas que não querem, eu já fui enganado quando jovem, pertenci à igreja do evangelho quadrangular conheço a bíblia muito mais do que certos fanáticos que são hipócritas e insistem em acreditar em fantasias. A leitura da bíblia nos faz questionar sobre a existência de deus, um livro tão mal formulado que apresenta contradições e inconsistências.
Quando uma pessoa consegue obter algo ou conhecimento não foi "graças" a nenhum deus e sim ao seu próprio esforço, os medíocres tentam menosprezar minha inteligência quando afirmam que sei algo "graças a deus", não foi graças a ele simplesmente por que ele NÃO EXISTE, o conhecimento que adquiri foi devido a minha dedicação aos estudos, se eu fosse depender de seres imaginários continuaria inculto e bitolado.

CINEMÁTICA

Um móvel executa trajetória retilínea cuja equação é S= t² -6t +12. Qual a distância percorrida entre 1s e 5s?

Resolução:
A primeira coisa a se pensar é que não devemos confundir distância percorrida com variação da posição, são conceitos físicos distintos.
Olhando para a função horária dos espaços concluímos que a velocidade inicial do móvel é -6m/s,ou seja, o movimento é retrógrado, a aceleração é 2m/s², vamos "montar" a função horária da velocidade.
V=Vo+at
V= -6+2t
O movimento se inverte quando V=0, logo:
0= -6+2t
-2t= -6
t= -6/-2
t=3s
De 1s a 3s calcularemos a variação da posição.
S(1)=1²-6.1+12
S(1)=1-6+12
S(1)=13-6
S(1)=7m

S(3)=3²-6.3+12
S(3)=9-18+12
S(3)=-9+12
S(3)=3m
A variação será 3m-7m= - 4m (Resultado negativo pois o movimento inicial era retrógrado)

Vamos agora calcular de 3s a 5s:
S(3)= 3m( Já foi calculado)

S(5)= 5²-6.5+12
S(5)=25-30+12
S(5)=37-30
S(5)=7m

A variação será 7m-3m=+4m ( Movimento progressivo)

A distância percorrida será a soma dos MÓDULOS.
d=| -4m| + |+4m|
d=4m+4m
d=8m

CINEMÁTICA

Uma avião, que mergulha fazendo um ângulo de 53,0º com a vertical, solta um projétil de uma altitude de 730m. O projétil bate no chão 5,00s após ser solto .
(a) Qual a velocidade da aeronave?
(b) Que distância o projetil percorreu na horizontal durante o seu vôo?
Quais eram as componentes (c) horizontal e (d) vertical da sua velocidade imediatamente antes dele bater no chão?

Resolução:

a)A velocidade do avião pode ser decomposta em Vx e Vy.
Vx= V.sen 53°
e
Vy= V.cos 53°

Vy será a velocidade inicial do projétil na direção vertical
yo=0
yf=730m
g=9,8m/s²
t=5 s
Vamos usar yf=yo+Voy.t+gt²/2
730=0+Vcos53°.5+9,8.5²/2
730=5Vcos53°+4,9.25
730-4,9.25=5Vcos53°
730-122,5=5Vcos53°
607,5=5Vcos53°
Vcos53°=607,5/5
Vcos53°=121,5
Faça cos53°=0,6
V.0,6=121,5
V=121,5/0,6
V=202,5 m/s

b) Na horizontal teremos um MU de velocidade Vsen53°.
t=5s
V=202,5
sen53°=0,8
xo=0
x=xo+Vsen53°.t
x=0+202,5.0,8.5
x=810m

c)
Vx é a velocidade horizontal e é constante e dada por Vsen53°.
Vx=202,5.sen53°
Vx=202,5.0,8
Vx=162m/s

Para achar a componente vertical use Vfy=Voy+gt.
Vfy=Vcos53°+9,8.5
Vfy=202,5.0,6+9,8.5
Vfy=121,5+49
Vfy=170,5m/s

CINEMÁTICA VETORIAL

Nos Campeonatos Mundiais de atletismo de pista e de campo de 1991 em Tóquio, Mike Powell saltou 8,95m, batendo e recorde de 23 anos do salto em distãncia estabelicido por Bob beamon com uma folga de 5cm> suponha que a velocidade de Powell ao sair do chão foi de 9,5m/s (quase igual à de um velocista) e que g=9,80m/s² em Tóquio. De quanto o alcance horizontal máximo possível (desprezado os efeitos do ar) de uma partícula lançada com a amesma velocidade escalar de 9,5 m/s?

Resolução:

CINEMÁTICA VETORIAL

Uma partícula parte da origem com uma velocidade inicial v=(3,00î )m/s e uma aceleração constante a=(-1,00î -0,500ĵ )m/s².Quando a partícula atinge a sua coordenada x máxima, quais são (a) a sua velocidade e (b) o seu vetor posição?

Resolução:

a)
Vamos montar a expressão da velocidade.
V=Vo+at
V=3i + (-1i-0,5j).t
As componentes x e y do vetor velocidade serão Vx= 3i - 1i.t e Vy= -0,5j .t.
Para Xmáx faça |Vx|=0.
|Vx|=3-t
0=3-t
t=3s
Substituindo t=3s na equação vetorial de V teremos:

V=3i+(-1i-0,5j)t
V=3i+(-1i-0,5j).3
V=3i-3i-1,5j
V=0-1,5j
V= -1,5j
|V| = 1,5 m/s

b)
O vetor posição é dado por r=ro+Vot+at²/2, substituindo Vo e a dados e considerando o vetor posição com origem no sistema de coordenadas (ro=0) teremos:
r=0+[3i.t]+ (-1i-0,5j)t²/2
r=3i.t + (-0,5i-0,25j).t²
Para rmáx sabemos que t=3s, logo:
rmáx= 3.3i +(-0,5i-0,25j).3²
rmáx=9i-4,5i-1,8j
rmáx=4,5i - 1,8j

MOVIMENTO RELATIVO

Num vagão ferroviário que se move com velocidade Vo = 3 m/s em relação aos trilhos estão dois meninos, A e B, que correm um em direção ao outro, cada um com velocidade V= 3 m/s em relação ao vagão. Ache as velocidades dos meninos A e B em relação aos trilhos.

Resolução:

Vvagão,trilhos + Vmeninos,vagão=Vtrilhos,meninos

Vvagão,trilhos= 3m/s
Vmenino a=+3m/s
Vmenino b=-3m/s

3+3=Vtrilhos,menino a
Vtrilhos,menino a=6m/s

3-3=Vtrilhos,menino b
Vtrilhos,menino b= 0

PROBABILIDADE

Um baralho padrão de 52 cartas é cortado em duas porções distintas, aqui denominadas A e B. Se uma carta for retirada ao acaso de A, a chance de ser uma carta vermelha é de 2:1. Se uma carta vermelha for agora transferida de B para A, as chances de retirar uma carta preta de B se tornam 2:1. A quantidade inicial de cartas em A e em B, respectivamente, é:

(A) 24, 28
(B) 25, 27
(C) 26, 26
(D) 27, 25
(E) 28, 24

Resolução:

Vamos fazer considerações sobre as cartas:
Há 26 cartas vermelhas e 26 pretas.
Va = nº de cartas vermelhas em A
Vb = nº de cartas vermelhas em B
Pa = nº de cartas pretas em A
Pb = nº de cartas pretas em B
Na partição inicial temos Va=2Pa.
Na partição modificada temos Pb=2(Vb-1)

(1)Pa+Pb=26
(2)Va+Vb=26
(3)Va=2Pa
(4)Pb=2Vb-2

Que maravilha, um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.
Pegue a (3) e substitua Va na (2):
Pa+Pb=26
2Pa+Vb=26
Pb=2Vb-2
Agora pegue a última e substitua na 1ª:
Pa+2Vb-2=26
2Pa+Vb=26
Reduzimos a 2 equações e 2 incógnitas.
Pa+2Vb=28
2Pa+Vb=26
Isole Pa na eq. de cima:
Pa=28-2Vb
Jogue na eq. de baixo:
2(28-2Vb)+Vb=26
56-4Vb+Vb=26
-3Vb=26-56
-3Vb=-30
3Vb=30
Vb=30/3
Vb=10
Agora é só substituir este valor nas equações, vamos indo em sentido oposto de baixo para cima:
Pa=28-2Vb
Pa=28-2.10
Pa=28-20
Pa=8

Pb=2Vb-2
Pb=2.10-2
Pb=20-2
Pb=18

Va=2Pa
Va=2.8
Va=16

As cartas em A são dadas pela soma:
Va+Pa=16+8
Va+Pa=24
As cartas em B são dadas pela soma:
Vb+Pb=10+18
Vb+Pb=28
Portanto a alternativa correta é a letra (a).

CINEMÁTICA VETORIAL

A velocidade v de uma partícula que se move no plano xy é dada por v=(6,0t-4,0t²) î + 8,0 ĵ com v em metros por segundo e t(>0)em segundos.(a)Qual é a aceleração quando t= 3,0s? (b) Quando (se ocorrer) a aceleração se anula? (c) Quando (se ocorrer) a velocidade se anula? (d) Quando (se ocorrer) o módulo da velocidade é igual a 10 m/s?

Resolução:

V=(6t-4t²)i + 8j

a)
Sabemos que a=dv/dt
a=d[(6t-4t²)i + 8j]/dt
a=(6-8t)i + 0j
a=(6-8t)i
Para t=3s:
a=(6-8.3)i
a=(6-24)i
a=-18i m/s²

b)
A expressão da aceleração vetorial é a=(6-8t)i.
O valor de a é zero quando:
a=0
0=(6-8t)i
6-8t=0
-8t=-6
t=-6/-8
t=0,75 s

c)
A expressão de V é dada por V=(6t-4t²)i + 8j, para sabermos se a velocidade se anula, basta jogarmos t=0,75s em V:
V=(6.0,75-4.0,75²)i + 8j
V=(4,5-2,25)i + 8j
V=2,25i + 8j
A velocidade NÃO se anula quando a=0.

d)
Para calcular o módulo de v, temos que pegar as componentes Vx e Vy:

|V|²=(Vx)² + (Vy)²
|V|²=(6t-4t²)² + 8²
Mas |V|=10m/s:
10²=8²+2²(3t-2t²)²
(100-64)/4 = (3t-2t²)²
36/4 = (3t-2t²)²
9=(3t-2t²)²
A partir daqui teremos duas equações:

3t-2t²= +V9
3t-2t²=3
e
3t-2t²=-V9
3t-2t²=-3

As equações 2t²-3t+3=0 e 2t²-3t-3=0 são independentes:

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO MINISTÉRIO DA FAZENDA 2009 CONTINUAÇÃO

75-Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que dois oráculos nunca erravam e um sempre errava.
Consultados os oráculos, dois falaram que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei:
a) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha.
b) certamente ganharia a batalha.
c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha.
d) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha.
e) certamente perderia a batalha.

Resolução:

76-Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?
a) 50%
b) 23%
c) 27%
d) 25%
e) 20%

Resolução:
P6=20%=20%/100%=0,2
P5=x
P4=x
P3=x
P2=x
P1=x
Vamos calcular x usando a soma de todas as probabilidades (Teorema da Probabilidade Total).
P1+P2+P3+P4+P5+P6=1
x+x+x+x+x+0,2=1
5x+0,2=1
5x=1-0,2
5x=0,8
x=0,8/5
x=1,6/10
x=0,16
Vamos calcular a probabilidade de sair número par:
P2+P4+P6=Ppar
Ppar=x+x+0,2
Ppar=2x+0,2
Porém x=0,16:
Ppar=2.0,16+0,2
Ppar=0,32+0,20
Ppar=0,52
Para que saia par duas vezes:
Ppar.Ppar
0,52.0,52
0,2704
Multiplicando por 100%:
0,2704.100%
27,04%

Alternativa (c)

77-A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.
b) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.
c) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
d) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

78-Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados
em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 25%
d) 57%
e) 50%

79-Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o
determinante da matriz fica:
a) Multiplicado por -2/3.
b) Multiplicado por -1.
c) Multiplicado por 2/3.
d) Multiplicado por 16/81.
e) Multiplicado por -16/81.

Resolução:

A mais fácil de todas, é só fazer analogia com uma matriz de ordem n igual a 2:
|3 5|
|2 6|

O determinante será (3.6)-(2.5)=18-10=8.
Aplicando a multiplicação de 2 pela 1ª linha:
|6 10|
|2 6|
Dividindo os elementos da 2ª linha por -3:
|6____10|
|-2/3 -2|
Calculando o determinante:
(6.-2)-(10.-2/3)
-12-(-20/3)
-12+20/3
(-36+20)/3
-16/3
Vamos agora "ver" a relação entre 8 e -16/3:
Determ1=8
Determ2=-16/3
Dividindo membro à membro:
Det1/Det2=8/(-16/3)
Det1/Det2= -24/16
Det1/Det2= - 3/2
Det2= -2/3Det1
O determinante Det1 fica multiplicado por -2/3.

Alternativa (a)

80-Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 7%
b) 35%
c) 17%
d) 58%
e) 42%

Resolução:

Para um dado honesto P1=P2=P3=P4=P5=P6=1/6
Jogando três vezes a probabilidade de sair um será:
P=Cn,p.P1^p.Pñsair^(n-p)
P=[3!/2!(3-2)!].(1/6)¹(5/6)²
P=[3.2!/2!.1!].(1/6).(25/36)
P=[3/1!].25/216
P=75/216
Multiplicando por 100%:
P=7500%/216
P=34,722222222222222222...%
Aproximadamente 35%

Alternativa (b)

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO MINISTÉRIO DA FAZENDA 2009

71-Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 20
b) 16
c) 15
d) 30
e) 24

Resolução:
5otrabalhadores----n-----8h/d-----24dias
40trabalhadores---0,8n--10h/d----x

Quanto MAIS trabalhadores MENOS tempo.
Quanto MAIS rendimento MENOS tempo.
Quanto MAIS horas por dia MENOS tempo.

x/24 = 8/10 . n/0,8n . 50/40
x/24 = 400n/32on
x/24 = 40/32
x=24.40/32
x=3.40/4
x=3.10
x=30 dias

Alernativa (d)

72-Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 16 horas

b) 24 horas
c) 20 horas
d) 12 horas
e) 30 horas

Resolução:
Para este tipo de problema a solução mais rápida é somar os inversos.
1/Ttotal = 1/24 + 1/48
1/Ttotal = 2/48 + 1/48
1/Ttotal = 3/48
Ttotal = 48/3
Ttotal = 16 horas

Alternativa (a).

73-Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que:
a) Marta ficou em casa.
b) Martinho foi ao shopping.
c) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao
shopping.
d) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em
casa.
e) Márcio e Martinho foram ao shopping.

Resolução:
Neste tipo venha caminhando ao contrário
Mário foi ao shopping-->Martinho NÃO foi ao shopping-->Marta NÃO ficou em casa-->Márcio NÃO foi ao shopping.

Alternativa (d)

74-X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim:
a) Se X ≥ 4, então Y <> 4.
c) Se Y > 7, então X ≥ 4.
d) Se Y <>

Y≤7 e X >4