Progressões Geométricas 

Um carro cujo preço à vista e R$ 24 000,00 pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?


RESOLUÇÃO:
O plano de pagamento consiste em um sinal de X, na segunda parcela teremos 4000, a terceira não foi mencionada e a quarta vale 1000.
Por enquanto vamos desconsiderar se o sinal faz parte da PG ou não pois temos elementos suficientes para "montar" a PG, veja:
As cinco parcelas estão em Pg, logo teremos:
a1, 4000, a3, 1000 e a5.
Para encontrar a razão q da PG faremos o seguinte raciocínio:
a4 = a2.q² ( O termo a4 é igual ao a2 vezes o quadrado da razão q pois pulamos duas casas entre a2 e a4)
1000 = 4000.q²
q² = 1000/4000
q² =1/4
Extraindo a raiz quadrada teremos q= 1/2.
Para encontrar a1 faremos a2=a1.q, logo 4000=a1.1/2 então a1=8000.
a3=a2.q
a3=4000.1/2
a3=2000

a5=a4.q
a5=1000.1/2
a5=500

Organizando a PG teremos:
a1,a2,a3,a4, e a5
8000, 4000, 2000, 1000 e 500
Vamos somar a1 até a5:
8000 + 4000 + 2000 + 1000 + 500
15.500
O valor total é 24.000
A entrada foi de 24.000 - 15.500 = 8.500
A compra então foi feita assim:
Sinal de 8.500 e parcelas de 8.000, 4.000, 2.000, 1.000 e 500.

Probabilidade

Existem 4 bolas em uma caixa, uma de cada cor e um grupo de 10 pessoas, um de cada vez vai tirar uma bola e vai colocar novamente na caixa, qual a probabilidade de uma cor não ser tirada por nenhuma pessoa?

 

RESOLUÇÃO:

 

A probabilidade de uma dada cor é 1/4 e a de não retirar esta cor é 3/4, os eventos posteriores serão independentes e portanto a probabilidade de não retiramos uma determinada cor será dada pela multiplicação 3/4.3/4.3/4.3/4 = 81/256.
Vou mostrar através do princípio da indução finita esta conclusão. Suponha que vc possua 3 cores e 3 pessoas para retirar as bolas, veja como ficaria o espaço amostral:
1ªpessoa:
A, B, C
2ªpessoa:
A, B, C
3ªpessoa:
A, B, C
O total de possibilidades seria encontrado através das combinações:
AAA, AAB, AAC, ABA, ABB, ABC, ACA, ACB, ACC, BAA, BAB, BAC, BBA, BBB, BBC, BCA, BCB, BCC, CAA, CAB, CAC, CBA, CBB, CBC, CCA, CCB, CCC
O nosso espaço amostral terá 27 possibilidades!!!!
Suponhamos não tirar a cor A, conte os grupos que não tenham a cor A, 8 no caso, a probabilidade de não tirar a cor A será 8/27 que poderíamos encontrar fazendo o raciocínio que expliquei a probabilidade de não retirar A será 2/3 que multiplicaremos 2/3.2/3.2/3 = 8/27

 

Analise combinatória.

Uma secretaria dispoe de 8 pastas vermelhas e 6 pastas brancas. Quantos lotes distintos de 4 pastas poderão ser formados, se em cada lote deve ter, pelo menos, 2 pastas vermelhas?
a) 420
b) 580
c) 642
d) 826
e) 986

 

RESOLUÇÃO:

 

São 8 pastas vermelhas e 6 pastas brancas e vc tem a restrição de que deve haver pelo menos duas pastas vermelhas, isto é, não podemos ter só pastas brancas mas podemos ter só pastas vermelhas.
1ª Parcial:
Para 2 brancas teremos 2 vermelhas pois cada lote possui 4 pastas, teremos uma combinação ou arranjos de 8 vermelhas em grupos de 2 e 6 brancas em grupos de 2. Como saberemos se temos arranjos ou combinações? Para diferenciar arranjos de combinações teremos que pensar se interessa a ordem ou a natureza de cada elemento em nossos grupos. De antemão será:
X8,2.X6,2 onde X será a combinação ou arranjo dos elementos.
Vamos agora desvendar o mistério:
Considere uma particular disposição para as pastas vermelhas de 2 elementos somente:
O grupo VV é diferente de VV? Não, portanto interessa a natureza de cada elemento e teremos combinações.
C8,2.C6,2=8!/2!(8-2)! . 6!/2!(6-2)!= 8!/2!6! . 6!/2!4!= 8!/2!2!4! = 8.7.6.5.4!/2!2!4! = 2.7.6.5=420

2ª Parcial ( 3 pastas vermelhas e 1 branca):
C8,3.C6,1 = 8!/3!(8-3)!.6!/1!(6-1)!=8!/3!5!.6!/1!5!= 8.7.6/3.2.1 . 6= 8.7.6 = 42.8 = 336

3ª Parcial ( 4 pastas vermelhas e 0 brancas):
C8,4.C6,0 = 8!/4!(8-4)! . 6!/0!(6-0)!= 8!/4!4!.6!/6!=8.7.6.5.4!/4.3.2.1.4!=8.7.…

Para achar o total de combinações temos que somar as quantidades:
420+336+70=826

 

 

Analisando as afirmações abaixo, a alternativa correta é:

I. Todo A é B. Logo, todo B é A.
II. Todos os professores da escola são competentes. Marcos é um professor da escola. Logo, Marcos é competente .

a) Nenhum dos dois argumentos é válido.
b) Apenas I é um argumento válido.
c) Apenas II é um argumento válido.
d) I e II são argumentos válidos.
e) Inconclusivo.
RESPOSTA:
I Não necessariamente todo A ser B não implica em todo B ser A, exemplo, Todo cachorro é animal, mas nem todo animal é cachorro.

II Sim, em termos matemáticos seria uma estrutura lógica denominada silogismo com duas premissas e uma conclusão, veja abaixo:
Premissa 1 : Todos os professores da escola são competentes;
Premissa 2 : Marcos é um professor da escola;
Conclusão : Marcos é competente

Observe que no silogismo retiramos a 1ª parte de uma premissa e a 2ª parte da outra afim de chegar a uma conclusão.

Analise Combinatória

Sete amigos vão ao cinema e ocupam uma fileira que possui sete cadeiras. Dentre eles, Ari,Bia e Cid fazem questão de ocupar ou as posições extremas ou as posições centrais da fileira. Sendo N o número de formas diferentes de todos se acomodarem, o valor de N/2 é?


RESOLUÇÃO:
a_ _ b _ _ c
b_ _ a _ _ c
acb
bca
cba
cab
Teremos 3.2.1 = 6 formas para a,b e c porém temos que calcular as permutações dos restantes:
_ _ _ _
4.3.2.1=24

24.6=144=N
N/2=144/2=72

Análise Combinatória?
João entrou numa lanchonete para comprar cinco empadas. Sabendo-se que essa lanchonete vende empadas de frango, de queijo e de camarão, de quantas formas diferentes João pode escolher suas cinco empadas?

RESOLUÇÃO:

O raciocínio para este tipo de questão é assim:
Temos 3 "sabores" e 5 escolhas:
o o I o o I o ( 2F, 2Q e 1C)
o o o I o o I ( 3F, 2Q e 0C)
Observe que cada "o" representa um sabor e as barras separam sabores diferentes então faça a permutação entre as barras e os "o´s".
Trata-se de permutação com elementos repetidos.
Temos a repetição de 5 "o´s" e 2 "I".
P7,a,b= 7!/5!2!

Uma esfera de massa 4 kg desloca-se horizontalmente com velocidade de 6 m/s e choca-se com outra esfera de massa 6kg em repouso. Sendo a colisão inelástica, qual a velocidade dos corpos após a colisão?

Resolução:
ANTES DO CHOQUE:

V1=6m/s
M1=4kg
V2=0
M2=6kg

DEPOIS DO CHOQUE:

(M1+M2)V=M1V1+M2V2
(4+6)V = 4.6+6.0
10V=24
V=24/10
V=2,4m/s

 

 

DESCONTOS SUCESSIVOS

O lançamento de um novo aparelho de som fez com que o modelo antigo sofresse desvalorizações sucessivas de 7% e 13%. Calcule o preço atual, sabendo que o valor anterior às desvalorizações era de R$ 900,00.

Resolução:

Em uma operação financeira de descontos sucessivos devemos utilizar a fórmula Vf = V0.(1-i1).(1-i2)......(1-in), onde:
Vf = Valor após os descontos
V0= Valor inicial
i= Valores das taxas

Vamos retirar agora os dados do enunciado:

V0 = 900
Vf = ?
i1 = 7%
i2= 13%

Cabe lembrar que sempre trabalhamos com as taxas na forma unitária, portanto vamos convertê-las da forma percentual para unitária:

i1 = 7%
i1 = 7%/100%
i1 = 0,07

i2 = 13%
i2 = 13%/100%
i2 = 0,13

Agora só temos que lançar os valores na fórmula dos descontos:

Vf = V0.(1-i1).(1-i2)
Vf = 900.(1-0,07).(1-0,13)
Vf = 900.0,93.0,87
Vf = 9.9,3.8,7
Vf = 9.80,91
Vf = 728,19

Matemática Financeira

Desejo comprar uma televisão a vista, mas a quantia Q que possuo corresponde a 80% do preço P do aparelho. O vendedor ofereceu-me um abatimento de 5% no preço, mas, mesmo assim, faltam R$ 84,00 para realizar a compra. Quais os valores de P e Q?

Resolução:

Analisando o primeiro parágrafo da questão podemos montar a primeira equação, ou seja, Q = 80%.P, vamos converter 80% para número comum, teremos 80%/100% = 0,8, portanto nossa equação ficará Q = 0,8.P

Partiremos para a segunda equação, como foi dado um abatimento de 5% teremos que o "novo" preço de venda seria 100%-5% = 95%, observe que esta percentagem será calculada em "cima" de P, logo P´=0,95.P, porém este valor ainda é superior à quantia Q que o comprador possui e seu valor é R$84,00 maior, logo:
0,95P = Q+84 ( Segunda equação)

Portanto temos um sistema com duas equações:

Q = 0,8P (1)
0,95P = Q+84 (2)

Resolveremos por substituição, tomamos a expressão de Q na equação (1) e substituímos na equação (2):

0,95P = 0,8P + 84
0,95P - 0,8P = 84
0,15P = 84

Para facilitar podemos multiplicar os dois membros por 100 para eliminar a parte decimal do primeiro membro:

100.0,15P = 100.84
15P = 8400
P = 8400/15
P = R$560 ( Valor de venda inicial)

Substituindo em (1) o valor encontrado para P, teremos:

Q=0,8P
Q=0,8.560
Q=8.56
Q=R$ 448 ( Valor possuído pelo comprador)

HIDROSTÁTICA

(UEPA-2009)

Um ribeirinho pretende atravessar o rio e, para isso, constrói uma jangada com toras de madeira. Cada tora tem 0,08m³ e massa de 40kg. Se o ribeirinho tem 70kg, qual a quantidade mínima de toras ele pode usar para que a jangada não afunde? Considere a densidade da água 1000kg/m³.

a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

RESOLUÇÃO:
Primeiro quero que você conheça o Teorema do Empuxo criado pelo brilhante Arquimedes de Siracusa, ou melhor, que você entenda o que ele representa:

"Todo corpo mergulhado em um líquido sofre ação de uma força vertical, orientada de baixo para cima, igual ao peso da porção de líquido deslocada pelo corpo"

Matematicamente seria assim: Empuxo = Peso do fluido deslocado

Vamos agora chamar de n o número de toras então teremos uma massa de 40n para o conjunto de toras e somaremos a isso a massa do ribeirinho.

mtotal = 40n+70

Agora vamos tentar montar uma inequação para ver o que iremos precisar:

E = Pfluido
No lugar de E podemos substituir Peso do conjunto ribeirinho e toras pois temos equilíbrio estático no ponto limite.

P < Pfluido

(mtoras+mribeirinho).g < mágua.g
40n+70 < dágua.Vágua
40n+70 < 1000.n.0,08 ( Entendeu porque V da água é 0,08.n?)
40n+70 < 80n
80n > 40n + 70
80n-40n>70
40n>70
n>70/40
n>1,75

Qual o próximo número inteiro maior que 1,75?
A resposta é 2.

FÍSICA IV HALLIDAY ED. 4 PÁG.42 EX. 30

a) Escreva a equação diferencial para um circuito LC alimentado por uma f.e.m. harmônica do tipo Vm . sen(wt)
b) Ache a solução desta equação em função do tempo t.
c) Seja wo = 1/(LC)exp1/2 e w a frequência angular da fonte de alimentação; obtenha uma relação para qm em função de Vm, L, wo e de w.

RESOLUÇÃO:

a) VL+VC = V

L.d²q/dt² + q/C = Vm.sen(wt)

Sabemos que: LCwo² = 1 <=> 1/C = Lwo²
L.d²q/dt² + Lwo²q = Vm.sen(wt)

b) CONTINUA......

QUESTÃO SOBRE RELATIVIDADE RESTRITA

A vida-média própria dos mésons pi é 2,6.10 exp -8 s. Se um feixe destas partículas tiver a velocidade escalar de 0,9c:
a) Qual seria a respectiva vida-média medida no laboratório?
b) Qual seria a distância que poderiam cobrir, em média, antes do decaimento?
c) Qual seria a resposta da parte (b) se fosse desprezado o alentecimento do tempo?

RESOLUÇÃO:

a) A definição de vida-média nos diz que é o tempo necessário para que um certo material radioativo desintegre-se, porém precisamos para resolver o item A somente lembrar da fórmula física relativística da dilatação dos tempos: t/T = √(1-v²/c²)

Onde:
t= Tempo medido no referencial em movimento
T= Tempo medido no referencial em repouso
v= Velocidade do referencial em movimento
c= Velocidade da luz
No item A temos:
t= 2,6.10exp-8 s ( Este é o tempo do ponto de vista dos mésons pois eles estão em movimento)
T= ? ( Este é o tempo medido no laboratório que está em repouso)
v=0,9c ( Velocidade dos mésons)
Jogando os valores na fórmula:
2,6.10exp-8/T =√1-(0,9c)²/c²
2,6.10exp-8/T =√1-0,81c²/c²
2,6.10exp-8/T=√1-0,81
2,6.10exp-8/T=√0,19
T=2,6.10exp-8/√0,19
T=5,96.10exp-8s

b) Para este cálculo usamos o referencial do laboratório, ou seja, T=5,96.10exp-8 e v=0,9c. Usaremos novamente a definição de velocidade S=v.T:
S = 0,9c.5,96.10exp-8 s
S = 0,9.3.10exp8.5,96.10exp-8
S = 2,7.5,96
S = 16,092 metros

c) A distância que poderiam cobrir do ponto de vista de um observador ligado ao referencial dos mésons seria dada por S = v.t, onde v = 0,9c e t = 2,6.10exp-8 s.
S = 0,9.3.10exp8.2,6.10exp-8
S = 2,7.2,6 metros
S = 7,02 metros

PROBABILIDADE

Luís tem probabilidade 1/4 de convidar Alice para um passeio num domingo. A probabilidade de que César a convide é 2/5 e a de Olavo é 1/2. Qual a probabilidade de que:

a) os três a convidem para o passeio?
b) ao menos um a convide para o passeio?
c) nenhum a convide para o passeio?

RESOLUÇÃO:

a) Os eventos Luís, César ou Olavo convidarem Alice para sair são independentes, pois um não interfere na ocorrência do outro, logo podemos usar a fórmula para eventos independentes aqui também.
Sendo:
P(L) = Probabilidade de Luís convidar Alice para sair = 1/4
P(C) = Probabilidade de César convidar Alice para sair = 2/5
P(O) = Probabilidade de Olavo convidar Alice para sair = 1/2

Vamos colocar os dados acima na fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(L ou C ou O) = P(L).P(C).P(O)
P(L ou C ou O) = 1/4 . 2/5 . 1/2
P(L ou C ou O) = 1.2.1/4.5.2
P(L ou C ou O) = 2/40
P(L ou C ou O) = 1/20 = 100%/20 = 5% Portanto há 5% de chance de que Alice seja convidada pelos três.


b) Neste item vamos utilizar um artifício que é bem simples de entender, observe:

Temos:
P0 = Probabilidade de Alice não ser convidada por ninguém
P1 = Probabilidade de Alice receber 1 convite
P2 = Probabilidade de Alice receber 2 convites
P3 = Probabilidade de Alice receber 3 convites

Queremos que ela receba ao menos 1 convite, isso implica dizer que não queremos a opção P0, vamos usar então a SOMA das probabilidades.

P0+P1+P2+P3 = 1
Observem que queremos a soma P1+P2+P3 que nos dá resultados de Alice ser convidada por alguém, vamos denominar P1+P2+P3 de x.

P0+x = 1
x = 1 - P0

Já sabemos o que P0 representa então vamos calcular seu valor.

P0 = P(ñ L e ñ C e ñ O) , ou seja é a probabilidade de quem nem Luís, César ou Olavo convidem Alice para sair.
P0 = P(ñL).P(ñC).P(ñO)

Para Luís:
P(ñL)+P(L) = 1 Probabilidade de Luís não convidar mais a probabilidade de convidar é igual a 1.
P(ñL) = 1 - P(L)
P(ñL) = 1 - 1/4

Analogamente para César:

P(ñC)+P(C) = 1
P(ñC) = 1 - P(C)
P(ñC) = 1 - 2/5
P(ñC) = 3/5

E finalmente para Olavo:

P(ñO)+P(O) = 1
P(ñO) = 1 - P(O)
P(ñO) = 1 - 1/2
P(ñO) = 1/2

Vamos agora encontrar a resposta do item b:
P0 = P(ñL).P(ñC).P(ñO)
P0 = 3/4 . 3/5 . 1/2
P0 = 3.3.1/4.5.2
P0 = 9/40

x = 1 - P0
x = 1 - 9/40
x = 31/40

c) Este item já foi respondido é só você rever as explicações.

PROBABILIDADE

Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é P(A) = 1/3 e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B) = 2/3. Admitindo os eventos A e B independentes, se os dois atiram, calcule as probabilidades abaixo:

a) Nenhum atingir o alvo,
b) Os dois atingirem o alvo.

RESOLUÇÃO:

a)Vamos calcular primeiro as chances da 1ª pessoa errar o alvo é só calcularmos utilizando a fórmula P(A)+P(ñA)=1, ou seja, a soma das probabilidades da 1ª pessoa acertar com a probabilidade de errar é igual porque a pessoa acerta ou erra.

1/3 + P(ñA) = 1
P(ñA) = 1-1/3
P(ñA) = 2/3

Analogamente para a 2ª pessoa teremos:

P(B)+P(ñB)=1
2/3+P(ñB)=1
P(ñB)=1-2/3
P(ñB)=1/3

Como queremos a probilidade de os dois errarem o alvo e estes são eventos independentes usaremos a fórmula P(ñA ñB) = P(ñA).P(ñB).

P(ñA e ñB) = 2/3.1/3
P(ñA e ñB) = 2/9

b) Para os dois atingirem o alvo é só usarmos também P(A e B) pois são eventos independentes, ou seja, A acertar ou errar não influencia em B acertar ou errar e vice-versa:

P(A e B) = P(A).P(B)
P(A e B) = 1/3 . 2/3
P(A e B) = 2/9

PROBLEMINHA SIMPLES USANDO DERIVADAS

Dividir o número 120 em duas partes tais que o produto P de uma pelo quadrado da outra seja máximo.

RESOLUÇÃO:

Vamos chamar uma das partes de x, a outra será (120-x).
O produto destas duas partes será dado então por P=x².(120-x).
Portanto teremos:

P=120x²-x³

Derivando a função P teremos:

dP/dx = 240x - 3x²

Queremos que P seja máximo, logo dP/dx =0:

0=240x - 3x²

3x²-240x = 0 ( Equação incompleta do 2º grau)

Logo x´= 0 e x´´= 80

Eliminamos sem problemas a raiz x=0, logo as partes procuradas são:

x=80 e (120-x) = 120-80=40